
12_Uravnenie_dinamiki_vraschatelnogo_dvizhenia_Moment_sily_moment_inertsii
.docxУравнение динамики вращательного движения. Момент силы, момент инерции.
В
торой
закон Ньютона для вращательного движения
выглядит следующим образом:
П
о
определению угловое ускорение и тогда
это уравнение можно переписать следующим
образом:
Уравнение динамики вращательного движения записывается так: M = dL/dt, так как Li = Iiω.
О
сновное
уравнение динамики вращательного
движения формулируется следующим
образом: изменение момента количества
движения твердого тела , равно импульсу
момента всех внешних сил, действующих
на это тело.
Векторное произведение радиуса-вектора, который проведен в точку приложения силы, на эту силу называется моментом силы, действующей на i-ю материальную точку относительно оси вращения.
В скалярной форме: Mi = ri*Fi*sin(ri, Fi).
Считая, что ri*sinα = li, то Mi = liFi.
Величина li, равная длине перпендикуляра, опущенного из точки вращения на направление действия силы, называется плечом силы Fi.
Уравнение динамики вращательного движения записывается так: M = dL/dt.
Известно, что для i-й материальной точки момент импульса в скалярной форме задается формулой L = mi*υi*ri.
Если вместо линейной скорости подставить ее выражение через угловую: υi = ωri, то выражение для момента импульса примет вид Li = mi*ri*2ω.
Величина Ii = mi*ri^2 называется моментом инерции относительно оси i-й материальной точки абсолютно твердого тела, проходящей через его центр масс. Тогда момент импульса материальной точки запишем: Li = Iiω.
Момент импульса абсолютно твердого тела запишем как сумму моментов импульса материальных точек, составляющих данное тело: L = Iω.
Закон вращательного движения гласит: M = dL/dt.
Известно, что представить момент импульса тела можно через момент инерции: L = Iω.
Тогда: M = Idω/dt.
Учитывая, что угловое ускорение определяется выражением ε = dω/dt, получим формулу для момента силы, представленного через момент инерции: M = Iε.
Моментом инерции J материальной точки относительно оси называется скалярная физическая величина, равная произведению массы m на квадрат расстояния r до этой оси: J = m(r^2).
М
омент
инерции системы материальных точек
будет равен сумме моментов инерции
отдельных точек.
Е
сли
масса распределена в пространстве
непрерывно, то суммирование заменяется
интегрированием. Тело разбивается на
элементарные объемы dv,
каждый из которых обладает массой dm.
В результате получается следующее выражение:
Д
ля
однородного по объему тела плотность
ρ постоянна,
и записав элементарную массу в виде: dm
= ρdv, преобразуем формулу
следующим образом:
Размерность момента инерции – кг*(м^2).
Момент инерции тела является мерой инертности тела во вращательном движении, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности при поступательном движении.
Момент инерции — это мера инертных свойств твердого тела при вращательном движении, зависящая от распределения массы относительно оси вращения. Иными словами, момент инерции зависит от массы, формы, размеров тела и положения оси вращения.
В
сякое
тело, независимо от того, вращается оно
или покоится, обладает моментом инерции
относительно любой оси, подобно тому,
как тело обладает массой независимо от
того, движется оно или находиться в
покое.
М
омент
инерции бесконечно плоского диска
радиуса R
относительно оси, перпендикулярной
плоскости диска:
Момент инерции шара радиуса R:
М
омент
инерции стержня длиной L
относительно оси, проходящей через
середину стержня перпендикулярно ему:
М
омент
инерции бесконечно тонкого обруча
радиуса R
относительно оси, перпендикулярной его
плоскости:
М
омент
инерции тела относительно произвольной
оси рассчитывается с помощью теоремы
Штейнера: момент инерции тела
относительно произвольной оси равен
сумме момента инерции относительно
оси, проходящей через центр масс
параллельно данной, и произведения
массы тела на квадрат расстояния между
осями.