ДНЕПРОПЕТРОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ПРАВА

КАФЕДРА ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ЭКОНОМИКЕ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Краткий конспект лекций для студентов ИЗДО

Для всех специальностей направлений:

0501 – «Економика и предпринимательство»

0502 – «Менеджмент»

0503 – «Торговля»

Составители: доц. Е.Г. Холод,

доц. Ю.Е. Чернявский,

доц. Г.Г. Швачич,

доц. С.А. Чернецкий

Днепропетровск

2004

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ..6

Раздел 1 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ..8

Тема 1.1. Матрицы. Действия над матрицами ..8

Тема 1.2. Системы линейных алгебраических

уравнений (СЛАУ) .25

Тема 1.3. Общее исследование систем линейных

алгебраических уравнений .33

Розділ 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ .43

Тема 2.1. Векторы. Основные понятия и определения .43

Тема 2.2. Векторный базис. Координаты вектора .45

Тема 2.3. Скалярное произведение векторов .51

Тема 2.4. Прямая на плоскости .54

Розділ 3. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ .67

Тема 3.1. Понятие функции .67

Тема 3.2. Предел числовой последовательности .70

Тема 3.3. Предел функции .76

Тема 3.4. Замечательные пределы .79

Раздел 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИИ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ .83

Тема 4.1. Производная функции .81

Тема 4.2. Дифференциал функции одной переменной .89

Тема 4.3. Приложение дифференциального исчисления для исследования функций .90

Раздел 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУН­К­­ЦИИ НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ .96

Тема 5.1. Дифференцирование функции двух независимых

переменных .96

Тема 5.2. Исследование функций двух независимых переменных .99

Раздел 6. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ .105

Тема 6.1. Неопределенный интеграл .105

Тема 6.2. Определенный интеграл .117

Тема 6.3. Несобственные интегралы…………………… 122

Раздел 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 126

Тема 7.1. Дифференциальные уравнения первого порядка 126

Тема 7.2. Линейные дифференциальные уравнения 134

Тема 7.3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными

коэффициентами 138

Тема 7.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными

коэффициентами 141

Раздел 8. РЯДЫ 148

Тема 8.1. Числовые ряды 148

Тема 8.2. Функциональные ряды 155

Тема 8.3. Степенные ряды. Радиус сходимости.

Теорема Абеля 157

Тема 8.4. Разложение функции в степенные ряды 161

ЛИТЕРАТУРА ОСНОВНАЯ 167

ЛИТЕРАТУРА ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ 168

ЛИТЕРАТУРА СПРАВОЧНАЯ 169

ВВЕДЕНИЕ

В любом из современных курсов экономики в той или иной степени используется математический аппарат: анализируются графики различных зависимостей, проводится математическая обработка различных статистических данных и т.д. С переходом украинской экономики на рыночные отношения роль математики и математических методов существенно возрастает. Действительно, центральная проблема экономики - это проблема рационального выбора. В плановой экономике (по крайней мере, на уровне отдельного предприятия) практически нет выбора, а значит, роль экономического анализа сущест­венно принижена. В условиях же рыночной экономики, когда каждой хозяйственной единице необходимо самостоятельно принимать решение, т.е. делать выбор, математическое моделирование становится крайне необходимым. В этой связи роль математических методов в экономике постоянно возрастает.

Отметим некоторые основные преимущества математического подхода при решении экономических задач.

Во-первых, возрастает необходимость в уточнении различных понятий. Математика не может оперировать нечетко, а, тем более, неконкретно определенными понятиями. Следовательно, если применяют математические методы для решения определенных задач, то необходимо на первых этапах составления математической модели четко сформулировать задачу, в том числе, четко представить и обосновать все сделанные допущения.

Во-вторых, развитость математических теорий как таковых (векторная алгебра, аналитическая геометрия, теория дифференциальных уравнений, корреляционный и регрессионный анализы и т. д.), предоставляет к услугам исследователя очень мощный математический аппарат.

Разумеется, в использовании математических методов есть и свои слабые стороны. При попытке формализовать экономическую ситуацию может получиться очень сложная математическая модель. Для того, чтобы ее упростить, приходится вводить новые допущения, зачастую не оправданные с точки зрения экономики. Здесь исследователя подстерегает опасность совершенствования математической техники вместо анализа подлинной экономической ситуации.

Данное учебное пособие иллюстрировано многочисленными примерами, которые позволяют более полно понять сущность основных теоретических положений.

5