Тема 2.4. Прямая на плоскости

Д ве взаимно перпендикулярные прямые, на каждой из ко­то­рых указано положительное направление и масштаб, образуют прямоугольную декартову систему координат (рис. 2.6). :

Рис. 2.6.

Точка называется началом координат, ось - осью абсцисс, ось -осью ординат. Положение на плоскости любой точки определяется двумя числами (координатами): (рис.2.6).

Теорема 2.9. Расстояние между точками и (рис.2.7) измеряется по формуле

Рис. 2.7.

Теорема 2.10. Если точка делит отрезок в отношении ( называется коэффициентом пропорциональности), то ее координаты находят так;

Следствие В частном случае, когда отрезок делится пополам, , получим так называемые формулы половинного деления:

Теорема 2.11. Площадь треугольника с известными вершинами равна;

В декартовом базисе прямая изображается уравнением первой степени с двумя неизвестными и

Рассмотрим различные формы задания уравнения прямой на плоскости.

Теорема 2.12. В прямоугольной системе координат любая прямая задается уравнением первой степени, называемым общим уравнением прямой

,

где - постоянные коэффициенты, причем .

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид:

З десь параметры и имеют определенный геометрический смысл (рис 2.8).

Рис. 2.8.

и называется угловым коэффициентом.

- угол, образованный прямой с положительным направ­ле­нием . В качестве положительного направления изме­ре­ния угла α принято направление против хода часовой стрелки (рис. 2.8).

– отрезок, отсекаемый прямой на оси ординат.

Выполнив несложные алгебраические преобразования, можно от общего уравнения прямой перейти к уравнению пря­мой с угловым коэффициентом. При этом

,

Уравнение прямой в отрезка на осях выглядит так:

.

З десь и - отрезки, отсекаемые прямой на осях абсцисс и ординат соответственно. Их связь с коэффициентами общего уравнения

.

В этой форме можно представить уравнение прямой, не проходящей через начало координат, т.е. если .

Нормальное уравнение прямой:

.

Геометрический смысл коэффициентов этого уравнения:

- длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую; - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси (рис. 2.9.).

Рис. 2.9.

Чтобы перейти к этому виду уравнения прямой, необходимо умножить все члены общего уравнения на нормирующий множитель

.

Знак выбирается таким образом, чтобы

.

Уравнение пучка прямых описывает множество прямых, проходящих через точку с известными координатами:

.

Уравнение прямой, проходящей через две точки и :

.

Угол между прямыми в зависимости от формы задания уравнений прямых может быть найден по формулам:

.

З десь угол измеряется от прямой с угловым коэффици­ен­том до прямой с угловым коэффициентом (рис. 2.10.):

Рис. 2.10.

Из этих формул легко выводятся условия параллельности

или

и перпендикулярности прямых:

или .

Координаты точки пересечения двух прямых опреде­ляют­ся как решение системы, составленной из уравнений этих прямых.

Теорема 2.13. Расстояние от точки до прямой (или ) определяется по формулам:

или .

Задача 2.5. Дано общее уравнение прямой .

Написать: а) уравнение с угловым коэффициентом; б) уравнение в отрезках; в) нормальное уравнение. Построить прямую.

Решение

а) Оставим член с слева, а остальные перенесем в правую часть уравнения. Затем разделим обе части на коэффициент при , т.е. на (-3). В результате получим уравнение с угловым коэффициентом

б) Исходное уравнение разрешается относительно свободного члена, а затем его левая и правая часть делится на величину свободно члена.

.

в) На первом этапе определяется нормирующий множитель

.

Далее левая и правая части исходного уравнения делятся на нормирующий множитель и получают нормальное уравнение вида

.

Задача 2.6. Написать уравнение прямой, проходящей через точку и отсекающей от координатного угла треугольник, площадью, равной 3 (кв. ед.).

Решение

Очевидно, что таких прямых будет две, а треугольники обра­зо­ваны во второй и четвертой четвертях (рис. 2.11.).

Рис. 2.11.

Запишем уравнение пучка прямых, проходящих через точку :

Преобразуем его к уравнению в отрезках:

.

Таким образом,

Так как и имеют разные знаки, то площадь указанных в условии задачи треугольников может быть найдена по формуле

.

Отсюда или

Решив квадратное уравнение, найдем

Тогда уравнения прямых будут иметь вид:

Задача 2.7. Дан треугольник с вершинами в точках и . Написать уравнения сторон треугольника, медианы , высоты . Найти длины медианы и высоты , внутренний угол треугольника при вершине , площадь треугольника .

Решение

П остроим треугольник с указанными вершинами и отметим все перечисленные элементы (рис. 2.12.).

Рис. 2.12

Уравнения сторон треугольника получим, используя уравнения прямой, проходящей через две точки.

Уравнение можно было бы записать и без таких выкладок, учитывая, что обе точки лежат на оси .

Для нахождения уравнения медианы предварительно определим координаты точки как середины отрезка :

Тогда уравнение медианы будет иметь вид

Длину определим как расстояние между точками и :

(лин. ед.).

Запишем уравнение пучка прямых, проходящих через вершину :

Так как высота перпендикулярна стороне треугольника , то их угловые коэффициенты связаны так:

Из уравнения легко найти . Тогда и уравнение высоты будет

или

.

Длину высоты определим как расстояние от точки до прямой :

(лин. ед.)

Так как мы установили общие уравнения прямых и , то воспользуемся соответствующей формулой для определения угла при вершине треугольника .

Площадь треугольника равна

(кв. ед.)

Задача 2.8. Найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника, вершины которого и .

Решение

Строим треугольник, указываем точки пересечения его медиан (E) и высот (F) (рис. 2.13.).

Е

Рис.2.13.

Определим координаты точки как координаты середины отрезка , воспользовавшись формулами половинного деления

Для определения координат точки пересечения медиан воспользуемся свойством этой точки, согласно которому она делит медиану в отношении , считая от вершины, т.е. . Тогда для точки

Треугольник является равнобедренным, так как длины сторон и равны:

(лин. ед.)

(лин. ед.)

Следовательно, медиана будет и высотой. Поэтому уравнение высоты определим как уравнение прямой, проходящей через точки :

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку может быть записано как

.

Уравнение стороны как уравнение прямой, проходящей через известные точки и :

отсюда

Так как высота перпендикулярна , то ее угловой коэффициент и уравнение будет

или

Координаты точки пересечения высот и определим из решения системы, составленной из уравнений высот:

Решая систему, находим . Таким образом, точка пересечения высот .

66