Второй замечательный предел
Числовая
последовательность
при
возрастает, но остается ограниченной.
Всякая возрастающая, но ограниченная
последовательность имеет предел. Предел,
к которому стремится
,
при
впервые определил Непер, обозначается
он через
,
т.е.
.
Число е является иррациональным, кроме того, оно трансцендентно и равно =2,71828.
Функция имеет пределом число не только при целочисленных значениях , но и тогда, когда стремится к бесконечности, пробегая числовую прямую непрерывно. Чтобы отметить это обстоятельство, заменим на имеем:
Последнее
соотношение и определяет выражение для
второго замечательного предела. Такой
предел, выраженный через бесконечно
малые, имеет вид
Задача 3.6. Найти пределы
а)
б)
Предел отношения многочленов при стремлении аргумента к бесконечности
Пусть
,
- некоторые
многочлены.
При
этом
.
Тогда
.
Следовательно,
Задача 3.7.Найти пределы
а)
.
б)
.