Тема 3.3. Предел функции

Ранее рассматривался предел числовой последовательности, аргументами которой были целые положительные числа. В данном разделе математического анализа рассматривается предел функции произвольного действительного аргумента. При этом рассматривается предел функции в точке или при .

Определение 3.7. Число называется пределом функции при стремящемуся к (или в точке ) если для любого числа , каким бы малым оно ни было, можно указать число , что для всех , которые удовлетворяют условию , выполняется неравенство .

То обстоятельство, что функция имеет своим пределом число при символически записывают следующим образом:

Понятие предела функции можно сформулировать на основании его геометрической интерпретации.

Определение 3.8. Функция имеет в точке пределом число , если для произвольной последовательности значений аргумента , которая сходится к , соответствующая последовательность значений функций при стремится к .

Решение задач по определению пределов функций существенно упрощается, если пользоваться основными теоремами о пределах функций. Рассмотрим некоторые из них.

Теорема 3.7. Функция не может иметь двух разных пределов в одной точке.

Теорема 3.8. Предел постоянной равен постоянной, т. е .

Теорема 3.9. Предел алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, если они существуют и конечны, т.е.

Теорема 3.10. Предел произведения функций равен произведению их пределов, если они существуют и конечны, т.е.

Следствие теоремы 3.10. Постоянный множитель можно выносить за знак предела функции, т.е.

Теорема 3.11. Предел частного двух функций равен частному их пределов, если они существуют и предел знаменателя отличается от нуля, т.е.

Односторонние пределы функций

Отметим, что в определениях предела функции никаких условий на способ стремления к не накладывалось. В этой связи имеют следующие основные понятия.

Определение 3.9. Если значения функции стремятся к числу по мере стремления к со стороны меньших значений, то число называется левосторонним пределом функции в точке , т. е.

Определение 3.10. Если значения функции стремятся к числу по мере стремления к со стороны больших значений, то число называется правосторонним пределом функции в точке , т. е.