20.* Определить среднее число заявок в системе m/m/2/  с загрузкой, равной 0,9 .

Интенсивность потока обслуживания: Интенсивность нагрузки. ρ = λ*t_обс = 0.9*0.9 = 0.81 Интенсивность нагрузки ρ=0.81 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).  =  = 0.445 Следовательно, 44.5% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно t_пр = 26.7 мин. Вероятность того, что обслуживанием: занят 1 канал: p₁ = ρ¹/1! p₀ = 0.81¹/1!*0.445 = 0.36 заняты 2 канала: p₂ = ρ²/2! p₀ = 0.81²/2!*0.445 = 0.146 заняты 3 канала: p₃ = ρ³/3! p₀ = 0.81³/3!*0.445 = 0.0394 заняты 4 канала: p₄ = ρ⁴/4! p₀ = 0.81⁴/4!*0.445 = 0.00798 заняты 5 канала: p₅ = ρ⁵/5! p₀ = 0.81⁵/5!*0.445 = 0.00129 заняты 6 канала: p₆ = ρ⁶/6! p₀ = 0.81⁶/6!*0.445 = 0.000175 заняты 7 канала: p₇ = ρ⁷/7! p₀ = 0.81⁷/7!*0.445 = 2.0E-5 заняты 8 канала: p₈ = ρ⁸/8! p₀ = 0.81⁸/8!*0.445 = 2.0E-6 заняты 9 канала: Заявки не получают отказ. Обслуживаются все поступившие заявки. Вероятность обслуживания поступающих заявок (вероятность того, что клиент будет обслужен). В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому: p_отк + p_обс = 1 Относительная пропускная способность: Q = p_обс. p_обс = 1 - p_отк = 1 - 0 = 1 Следовательно, 100% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%. Среднее число каналов, занятых обслуживанием (Среднее число занятых каналов). n_з = ρ*p_обс = 0.81*1 = 0.81 канала. Среднее число простаивающих каналов. n_пр = n - n_з = 20 - 0.81 = 19.2 канала. Следовательно, система на 0% занята обслуживанием. Абсолютная пропускная способность (Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок). A = p_обс*λ = 1*0.9 = 0.9 заявок/мин. Среднее время простоя канала ( мин.). t_п.к. = t_обс*(1-p_отк)/p_отк = 0.9*(1-0)/0 = 4.1111210087687E+20 Среднее число обслуживаемых заявок. L_обс = ρ*Q = 0.81*1 = 0.81 ед. Среднее время пребывания заявки в СМО (формула Литтла). Число заявок, получивших отказ в течение часа: λ*p₁ = 0 заявок в мин. Номинальная производительность СМО: 20 / 0.9 = 22.222 заявок в мин. Фактическая производительность СМО: 0.9 / 22.222 = 4% от номинальной производительности.

21.* Определить среднее число заявок в очереди системы m/m/2/  с загрузкой, равной 0,9 .

Исчисляем показатели обслуживания многоканальной СМО: Интенсивность потока обслуживания: 1. Интенсивность нагрузки. ρ = λ*t_обс = 0.9*0.9 = 0.81 Интенсивность нагрузки ρ=0.81 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания. 3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).  =  = 0.445 Следовательно, 44.5% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно t_пр = 26.7 мин. Вероятность того, что обслуживанием: занят 1 канал: p₁ = ρ¹/1! p₀ = 0.81¹/1!*0.445 = 0.36 заняты 2 канала: p₂ = ρ²/2! p₀ = 0.81²/2!*0.445 = 0.146 заняты 3 канала: p₃ = ρ³/3! p₀ = 0.81³/3!*0.445 = 0.0394 заняты 4 канала: p₄ = ρ⁴/4! p₀ = 0.81⁴/4!*0.445 = 0.00798 заняты 5 канала: p₅ = ρ⁵/5! p₀ = 0.81⁵/5!*0.445 = 0.00129 заняты 6 канала: p₆ = ρ⁶/6! p₀ = 0.81⁶/6!*0.445 = 0.000175 заняты 7 канала: p₇ = ρ⁷/7! p₀ = 0.81⁷/7!*0.445 = 2.0E-5 заняты 8 канала: p₈ = ρ⁸/8! p₀ = 0.81⁸/8!*0.445 = 2.0E-6 заняты 9 канала: Вероятность обслуживания поступающих заявок (вероятность того, что клиент будет обслужен). В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому: p_отк + p_обс = 1 Относительная пропускная способность: Q = p_обс. p_обс = 1 - p_отк = 1 - 0 = 1 Следовательно, 100% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%. Среднее число каналов, занятых обслуживанием (Среднее число занятых каналов). n_з = ρ*p_обс = 0.81*1 = 0.81 канала. Среднее число простаивающих каналов. n_пр = n - n_з = 20 - 0.81 = 19.2 канала. Абсолютная пропускная способность (Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок). A = p_обс*λ = 1*0.9 = 0.9 заявок/мин. Среднее время простоя канала ( мин.). t_п.к. = t_обс*(1-p_отк)/p_отк = 0.9*(1-0)/0 = 1.0150916071034E+22 12. Среднее число обслуживаемых заявок. L_обс = ρ*Q = 0.81*1 = 0.81 ед. 13. Среднее число заявок в системе (т.е. заявки, которые уже обслуживаются, и те, которые еще стоят в очереди и ждут обслуживания). L_CMO = L_оч + L_обс = 0 + 0.81 = 0.81 ед. 14. Среднее время пребывания заявки в СМО. Число заявок, получивших отказ в течение часа: λ*p₁ = 0 заявок в мин. Номинальная производительность СМО: 20 / 0.9 = 22.222 заявок в мин. Фактическая производительность СМО: 0.9 / 22.222 = 4% от номинальной производительности.