9. 10. Расчет фильтра Баттерворта.

1. Исходя из условий работы фильтра Баттерворта задают:

максимальное рабочее ослабление в полосе пропускания ;

минимальное рабочее ослабление в полосе задержания ;

граничную частоту полосы пропускания ;

граничную частоту полосы задержания .

2. Используя исходные данные определяют:

нормированную частоту полосы задержания

коэффициент неравновесного ослабления в полосе пропускания

;

порядок фильтра

квадрат АЧХ фильтра

(9. 1)

рабочее ослабление фильтра

строят и анализируют графики квадрата АЧХ и рабочего ослабления.

3. Находят передаточную функцию фильтра по следующей методике:

квадрат АЧХ записывают в операторном виде, заменяя оператор на оператор

(9. 2)

знаменатель полученной функции разлагают на произведение сомножителей, для этого решают уравнение и находят корни

(9. 3)

Вычислив корни по формуле (9.3) для четных m(p) и не четных m(-p), записывают выражение (9.2) в следующем виде

(9. 4)

Учитывая, что реализуемой является только , выражение (9.4) примет вид

где .

Если принять и m=2, то выражение (9. 2) примет вид

Из формулы (9. 3) имеем:

Реализуемыми являются только корни (полюса), которые лежат в левой полуплоскости переменной , т. е. корни и , следовательно выражение (9.4) примет вид

(9. 5)

4. Определяют структуру и параметры элементов фильтра по следующей метке:

Пассивный LC- фильтр представляют в виде реактивного четырехполюсника с входным сопротивлением , включенного между генератором с внутренним сопротивлением и сопротивлением нагрузки , и находят входное сопротивление

где - коэффициент отражения на входе четырехполюсника.

Рис. 9.26. Реактивный четырехполюсник.

Коэффициент отражения связан с передаточной функцией соотношением

(9. 8)

Учитывая (9. 5), выражение (9. 8) примет вид

Нули этой функции равны нулю (Р₀₁=Р₀₂ =Р₀₃=Р₀₄=0), тогда полином числителя (Р-Р₀₁)(Р-Р₀₂)=Р² , откуда

(9. 9)

Подставим в виде проводимости и проводят разложение проводимости в цепную (лестничную) дробь по методу Кауэра (разложение в цепную дробь осуществляется последовательно делению полинома знаменателя на полином числителя, последнего- на остаток от первого деления, остатка от первого деления- на остаток от второго деления и т. д. ).

Выполнив разложения получим

где

Значение получены для нормированной частоты , поэтому ёмкость и индуктивность для ненормированной частоты определим из условия

откуда аналогично

Например, если принять то тогда

Схема фильтра нижних частот второго порядка для принятых в примере значений и приведена на рис. 9.27.

Рис. 9. 27. Схема ФНЧ второго порядка.

9. 11. Расчет фильтра Чебышева

1. Исходя из условий работы фильтра задают:

порядок фильтра ;

полосу пропускания ;

рабочее ослабление в полосе пропускания ;

граничную частоту полосы непропускания (задержание) .

2. Используя исходные данные определяют:

относительную частоту границы задержания

;

коэффициент неравномерного ослабления в полосе пропускания

; (9. 10)

рабочее ослабление на частоте границы задержания

(9. 11)

квадрат АЧХ и затухания

(9. 12)

где , т. е. в полосе пропускания; в полосе непропускания.

3. Строят графики частотной зависимости квадрата АЧХ и затухания.

4. Квадрат АЧХ записывают в операторной форме путем замены оператора на оператор Р

(9. 13)

5. Записывают полином и находят полюсы (Р_к)

где .

Из корней составляют сомножители (р-р_i) и строят передаточную функцию

(9. 14)

где

Далее расчет осуществляется по методике расчета фильтра Баттерворта.