Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Типовой расчет Кибернетика (ИИИ) 4 вар

.doc
Скачиваний:
17
Добавлен:
30.12.2021
Размер:
614.4 Кб
Скачать

Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

III семестр

Контрольные задания для студентов факультета Кибернетики

Контрольные задания по теме: «РЯДЫ»

https://www.zachet.ru/reshebnik-kontrolnogo-zadaniya-po-matematicheskomu-analizu-iii-semestr-kibernetika-mgtu-mirea/

Наша группа вКонтакте

https://vk.com/zachet_ru

URL в Google+

https://plus.google.com/+ZachetRu_channel

Twitter

https://twitter.com/zachet_ru

С Уважением,

https://www.zachet.ru/

Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

III семестр

Контрольные задания для студентов факультета Кибернетики

Контрольные задания по теме: «РЯДЫ»

Вариант 4

Задача 1. Исследовать на сходимость числовые ряды:

а) ; б) .

Решение.

а) Это знакочередующийся ряд. По признаку Лейбница, он сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, а общий член стремится к нулю. Первое условие выполняется, так как . Второе условие тоже выполняется, т.к. . Значит, ряд сходится.

б) Для этого ряда необходимое условие сходимости не выполняется: , значит, ряд расходится.

Задача 2. Исследовать знакочередующийся ряд на абсолютную и условную сходимость.

Решение.

Рассмотрим ряд, состоящий из абсолютных величин данного ряда . Для этого ряда необходимое условие сходимости выполняется: . Известно, что ряд  – расходится. Так как , , то по второму признаку сравнения рядов, ряд расходится.

Рассмотрим знакочередующийся ряд . По признаку Лейбница, он сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, а общий член стремится к нулю. Первое условие выполняется, так как . Второе условие тоже выполняется, т.к. . Значит, ряд сходится.

Таким образом, ряд является условно сходящимся.

Задача 3. Найти интервал сходимости степенного ряда. Исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости. .

Решение.

По признаку Даламбера получим

, т.е. радиус сходимости .

Интервал сходимости найдем из неравенства . Отсюда, .

При получим: . Для этого ряда необходимое условие сходимости не выполняется: , значит, ряд расходится.

При получим: . Это знакопеременный ряд. По признаку Лейбница, он сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, а общий член стремится к нулю. Второе условие не выполняется, т.к. . Значит, ряд расходится.

Таким образом, ряд сходится при .

Задача 4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням . Указать область сходимости полученного ряда. Найти .

а) , ; б) , .

Решение.

а) .

.

, .

, .

, .

, .

, .

Таким образом, .

.

б) .

.

, .

, .

, .

, .

.

Таким образом, .

.

Задача 5. Используя признак Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость функционального ряда на указанном промежутке.

, .

Решение.

Рассмотрим ряд , причем при . Так как ряд сходится, то данный функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно.

Задача 6.

а) Разложить функцию , заданную на полупериоде , в ряд Фурье по косинусам. построить график второй, третьей, десятой частичных сумм. Написать равенство Парсеваля для полученного ряда. Сумму какого числового ряда можно отыскать с помощью полученного равенства?

б) Разложить функцию , заданную на полупериоде , в ряд Фурье по синусам. Построить графики второй, третьей, десятой частичных сумм. Указать тип сходимости полученного ряда.

в) Разложить функцию в ряд Фурье, продолжая ее на полупериод функцией, равной 0. Построить графики второй, четвертой, десятой частичных сумм. Указать тип сходимости полученного ряда.

, .

Решение.

а) Ряд Фурье по косинусам имеет вид , где .

Найдем эти коэффициенты:

.

.

Получаем, .

Равенство Парсеваля: .

б) Ряд Фурье по синусам имеет вид , .

Найдем эти коэффициенты:

.

Получаем, .

в) Ряд Фурье имеет вид , , .

Найдем эти коэффициенты:

;

;

.

Получаем, .

Задача 7. Методом Фурье найти решение уравнения колебаний струны длины , закрепленной на концах: и удовлетворяющей следующим начальным условиям: , .

; , .

Решение.

По методу Фурье уравнение имеет следующее решение:

.

Постоянные и можно найти, используя краевые условия:

, ;

, , , где .

При найденных значениях получаем , или , т.к. каждому значению отвечают свои постоянные и , а постоянную включаем в и .

Таким образом, .

Решение должно удовлетворять начальным условиям:

, .

, , .

, откуда .

Таким образом, .

Задача 8. Найти приближенное решение задачи Коши , , . Решение задачи Коши ищется в виде степенного ряда , коэффициенты которого вычисляются последовательно. Ограничиваясь суммой , содержащей член ряда, получаем приближенное решение. Оценка погрешности этого решения в работе облегчается тем, что получающиеся степенные ряды – знакочередующиеся. Требуется, чтобы эта погрешность не превосходила при .

, .

Решение.

Будем искать решение этого уравнения в виде ряда .

Тогда , .

Подставляя , и в исходное уравнение, получим

.

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями :

.

Приравнивая коэффициенты при , а также приравнивая нулю все остальные коэффициенты полученного ряда, находим:

, , , … , , где . Последнее соотношение позволяет найти последовательно все коэффициенты искомого разложения.

Т.к. , то , т.е. .

Т.к. , то , т.е. .

Найдем коэффициенты: , ,

, , .

Тогда . .

При член ряда равен ;

.

Таким образом, с погрешностью .

Задача 9. Приближенно вычислить определенный интеграл. Для вычисления интеграла функцию разлагают на отрезке интегрирования в степенной ряд, который интегрируют почленно. Ограничившись несколькими первыми слагаемыми полученного таким образом числового ряда, имеем приближенное значение интеграла. В работе погрешность приближения не должна превышать , и оценка этой погрешности упрощается по тем же причинам, что и в задаче 8.

.

Решение.

Т.к. разложение в ряд имеет вид , то получим

.

Найдем такой член ряда, модуль которого не превосходит :

: , : ,

: , : ,

: , : .

Тогда .

Задача 10. а) Найти преобразование Фурье (спектральную плотность ) следующей функции (сигнала)

б) Продолжить периодическую функцию (сигнал) с интервала на всю числовую прямую, разложить в ряд Фурье. Построить графики второй и третьей частичных сумм.

Решение.

а)

.

б) Ряд Фурье имеет вид , где , .

Найдем эти коэффициенты:

;

;

.

Получаем, .

, .