ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ

МИНИСТЕРСТВО науки и высшего образования

российской федерации

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра общей и технической Физики

Отчет к лабораторной работе №7

По дисциплине Физика

(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)

Тема: Определение момента инерции твердых тел с помощью маятника Максвелла

Автор: студент гр. СПС-18 ______________ Петров Н.Е.

(подпись) (Ф.И.О.)

ОЦЕНКА: _____________

Дата: 28.02.2019

ПРОВЕРИЛ _доцент _____________ / Ломакина Е.С./

(должность) (подпись) ( Ф.И.О.)

Санкт-Петербург

2019

Цель работы:

Изучение маятника Максвелла и определение с его помощью момента инерции твердых тел.

Краткие теоретические сведения:

В данной лабораторной работе изучается явление вращательного движения тел.

Маятник Максвелла представляет собой однородный диск С, через центр которого проходит металлический стержень D (рис.7.1). К концам этого стержня прикреплены две нити. Они тщательно, виток к витку, наматываются на стержень в направлении от его конца к диску. При этом диск на стержне поднимается вверх. Если не удерживать диск в верхнем положении, то возникает поступательное движение маятника вниз и его вращательное движение вокруг оси симметрии. Вращение, продолжаясь по инерции в низшей точке движения (когда нити уже размотаны), приводит вновь к наматыванию нити на стержень. Диск снова поднимается вверх и движение повторяется, т.е. возникают колебания.

Момент инерции тела является мерой инертности тела при вращательном движении. Момент инерции тела зависит от размеров и формы тел и от распределения массы тела относительно оси вращения.

Момент инерции тела величина аддитивная. Если мысленно представить тело состоящим из большого число весьма малых элементов m_i, то момент инерции такого дискретного тела приближённо определяется по формуле

Приближение тем точнее, чем больше количество разбиений тела на элементарные массы m_i.

При бесконечно большом значении числа элементарных масс i стремится к бесконечности, а m_i. стремится к нулю. Тогда момент инерции сплошного твёрдого тела (непрерывное распределение масс) определяется по формуле

= (7.1)

где r_i - расстояние от элемента до оси вращения;  - плотность вещества в элементе объема dV, находящегося на расстоянии r от оси вращения.

Таким образом, задача нахождения момента инерции различных тел сводится к интегрированию по формуле (7.1) для соответствующего объёма тела.

При выводе расчётных формул использованы соотношения для моментов инерции тел, и закон сохранения полной механической энергии.

Учитывая, что момент инерции тела величина аддитивная, теоретическое значение момента инерции маятника Максвелла J_т можно определить в виде суммы моментов инерции, полученных как результат интегрирования по формуле (7.1) для его трёх элементов: оси маятника, диска и кольца, надетого на диск

(7.2)

В формуле (7.2):

момент инерции оси маятника ;

момент инерции диска

момент инерции кольца, надетого на диск ;

здесь R₀, m₀, R_Д, m_Д, R_К, m_К - соответственно радиусы и массы оси, диска и кольца.

Кинетическая энергия маятника массой m, поднятого и зафиксированного на высоте h, равна нулю. Полная механическая энергия определяется только потенциальной энергией E_п = mgh.

В нижнем положении маятника E_п = 0, и полная механическая энергия равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений

(7.3)

При таком движении модуль угловой скорости , модуль линейной скорости  и радиус диска R связаны соотношением

(7.4)

Из закона сохранения следует, что полная энергия маятника в верхнем и нижнем положениях должна быть одинакова, т.е.

(7.5)

Отсюда, учитывая соотношение (4), момент инерции маятника

(7.6)

Для равнопеременного движения связь между расстоянием h, пройденным телом, величиной скорости  и временем t имеет вид

(7.7)

Подставляя последнее выражение в формулу (7.6), получим зависимость для определения экспериментального значения момента инерции

(7.8)

Формулу (7.8) можно вывести и на основе уравнений динамики для поступательного и вращательного движения (см. лаб. работа № 5)

Схема установки:

Общий вид установки представлен на рис. 7.2. В основании 1установки закреплена колонка 8 и электронный секундомер 2, к колонке 8 прикреплен неподвижно верхний кронштейн 9 и подвижный нижний кронштейн 7. На верхнем кронштейне находится электромагнит 10 и фотоэлектрический датчик 11, а на нижнем кронштейне – фотоэлектронный датчик 3.

Маятник представляет собой диск 5, закрепленный на оси 6, подвешенной на двух нитях 4 (бифилярный подвес). На диск можно насаживать сменные кольца 12, изменяя, таким образом, момент инерции системы.

Маятник удерживается в верхнем положении электромагнитом 10. Фотоэлектрические датчики 3 и 11 соединены с электронным секундомером 2. Верхний электронный датчик фиксирует момент начала движения маятника, а нижний - окончания движения (опускания) маятника.

Рисунок 1 – Схема установки

Основные расчетные формулы:

1. Теоретический момент инерции маятника

кг*м²

2. Момент инерции оси маятника

кг*м² , где

m_o – масса оси [m_o] = кг

R_o – радиус оси [R_o] = м

3. Момент инерции диска

кг*м² , где

m_д – масса диска [m_д] = кг

R_д – радиус диска [R_д] = м

4. Момент инерции кольца

кг*м² , где

m_к– масса оси [m_к] = кг

R_к – радиус оси [R_к] = м

5. Экспериментальный момент инерции маятника

кг*м² , где

m – полная масса маятника [m] = кг

R – радиус маятника (кольца) [R] = м

t – среднее время падения [t] = с

h – длина маятника [h] = м

Формулы для расчета погрешностей косвенных и прямых измерений:

1. Средняя квадратичная погрешность экспериментального момента инерции

2. Погрешность среднего времени

3. Погрешности прямых измерений:

Рисунок 2 – Таблица погрешностей приборов

Исходные данные:

d₀ = 0,0100 ± 0,0005 м

d_d = 0,0860 ± 0,0005 м

d_k = 0,1050 ± 0,0005 м

h = 0,4050 ± 0,0005 м

m₁ = 0,264 ± 0,001 кг

m₂ = 0,394 ± 0,001 кг

m₃ = 0,523 ± 0,001 кг

m₀ = 0,032 ± 0,001 кг

m_d = 0,124 ± 0,001 кг

Ход работы:

1. Включаем установку, надеваем на диск первое кольцо и проводим десять измерений времени падения. Затем то же самое повторяем с двумя оставшимися кольцами.

2. Определяем среднее значение времени падения маятника, используя значения времени измеренные по прибору.

3. Вычисляем общую массу маятника по формуле: .

4. Вычисляем теоретическое значение момента инерции маятника J_т по формуле (7.2).

5. Вычисляем экспериментальное значение момента инерции маятника J_э по формуле (7.8).

6. Строим графики зависимости момента инерции маятника J_т и J_э от массы.

Рисунок 3 – Зависимость теоретического и экспериментального моментов инерции от массы

7. Вычислим среднюю квадратичную погрешность для полученного экспериментально значения момента инерции.

Таким образом, средняя квадратичная погрешность для среднего времени t_cp = (t_cp1 + t_cp2 + t_cp3)/3 = 2,1621 ± 0,0523 с. Равна 0,0169678 кг*м²

7. Итак, J = 0,3389631 ± 0,0169678 кг*м².

8. J_т = 0,0019295 кг*м². Следовательно значение экспериментального момента инерции в больше значения теоретического 175.

Рисунок 4 – Таблица результатов измерений

Вывод:

В ходе данной лабораторной работы мы изучили маятник Максвелла, обнаружили прямую зависимость момента инерции маятника от его массы. При этому получили большое расхождение между экспериментальным и теоретическим моментами инерции.