12.4. Синтез оптимальных систем с помощью принципа максимума

12.4.1. Общие положения

Использование вариационного исчисления становится невозможным, когда управление или координаты объекта управления имеют нелинейные характеристики, что весьма характерно для большинства практических задач оптимального управления.

Введение в синтез таких ограничений приводит к нарушению условий, необходимых для использования функционала и его вариаций, которые должны быть непрерывными.

В качестве метода, допускающего любые ограничения к вектору управления или к вектору координат объекта управления, пришел метод, разработанный группой советских ученых, и который получил имя принципа максимума или принцип Л.С. Понтрягина.

Метод справедлив для систем управления, поведение которых может быть описано системой уравнений первого порядка:

где - координата объекта управления; - вектор управления; - вектор управления.

Известно, что начальное состояние и конечное состояниесистемы, то-есть.,

Кроме того, дано, что вектор управления , который может переместить систему из положения в положение , принадлежит к некоторой закрытой области  :

Ставится задача определить управление, принадлежащее области , которое

может перевести систему из состояния в состояние и доставить экстремальное значение функционалу extremum.

Чтобы решить поставленную проблему, вводим прежде всего вспомогательную переменнуюв систему уравнений, представляющих систему управления: :

Заметим, что координатасоответствует текущему значению функционала

и что que

Тогда, задача сводится к решению системы уравнений

,

где координата будет иметь экстремальное значение, а все другие координаты удовлетворяют граничным условиям: .

Затем, в рассматриваемом методе вводятся вспомогательные переменные: , образующие вспомогательный вектор такой, что

Вводится также функция Гамильтона, такая что

Функция называется также функцией Понтрягина. Очевидно, что

Тогда, можно объединить системы (1) и (2) в одну систему уравнений, называемую системой Гамильтона (система канонически сопряженных уравнений):

12.4.2 Последовательность решения задач с помощью принципа максимума

Теорема, доказанная Л.С.Понтрягиным: чтобы управление было оптимальным необходимо, чтобы существовала непрерывная и ненулевая вектор-функция такая, что

1) При любом в интервале функция , рассматриваемая как функция переменного , , достигала в точке максимума ;

2) при выполнялись бы следующие соотношения:

Особенностью принципа максимума является то, что вариационная задача нахождения функции , экстремизирующей функционал, заменена более простой задачей математического анализа нахождения значения , доставляющего максимум вспомогательной функции. Отсюда ясно и название метода- принцип максимума.

Последовательность решения задач оптимального управления с помощью принципа максимума.

1. Записываем уравнения объекта управления в виде системы уравнений первого порядка, добавляя уравнение для производной функционала

Замечание: в рамках метода принципа максимума доказано, что, если экстремизируемый функционал не зависит в явном виде от вектора управления, где функция под знаком интеграла-функционала , может не присоединяться к системе , так как в этом случае составляющая не влияет на максимизацию функции Понтрягина В качестве дополнительной переменной можно другие переменные, например, , которыми заданы ограничения.

2. Составляем функцию Л.С. Понтрягина:

3. Находим значение , максимизирующее функцию , используя систему уравнений:

Возможно, что максимум будет достигаться на границе допустимой области управлений. Тогда для некоторых предыдущее равенство может не выполняться при ненулевой .

4. Составляем уравнения для определения :

5. Решаем совместно выше написанные уравнения вместе с уравнениями по п.1 и находим оптимальное управление