12. Оптимальное управление
12.1 Введение
Оптимальной системой называется любая система, которой приданы тем или иным способом наилучшие свойства в каком-либо определенном смысле.
Вообще говоря, всякая научно обоснованная система является оптимальной, потому что мы выбираем ту или иную систему, так как мы предпочитаем её другим. Оценка функционирования системы производится с помощью определенных критериев, которые мы считаем оптимальными, и без которых обоснованный выбор системы был бы не возможен.
Задачей теории оптимального управления является определение в общем виде законов управления, дающих возможность судить о том, что можно достигнуть в реальных условиях. Классической постановкой задачи оптимального управления является определение оптимального закона управления при наличии полной информации об объекте управления (математическое описание объекта управления, учитывая все ограничения, накладываемые на координаты системы), а также точной математической формулировки системы.
12.2. Цели управления и критерии оптимизации
В качестве цели управления можно рассматривать выполнение требований, предъявляемых к системе управления. Такими требованиями могут быть условия ограничения, налагаемые на выходные координаты ( например, допуски на изготавливаемые изделия, ошибки стабилизации управляемой величины), экстремальные условия (например, максимальная мощность или коэффициент мощности сети, минимальные расходы горючих материалов) и показатели качества продукции (например, содержание воды в товарной нефти, погрешности регулирования температуры печи).
В общем случае при составлении формализованного выражения критерия руководствуются следующими соображениями:
Критерий должен, прежде всего, отражать экономические показатели или величины, связанные с ними.
2. Для конкретной системы должен быть взят только один критерий. В случае многокритериальной задачи можно составить глобальный критерий, как определенную функцию частных критериев.
3. Критерий должен быть связан с управляющими воздействиями. В противном случае он бесполезен.
4. Критерий должен иметь подходящую форму. Желательно иметь критерий, имеющий один экстремум, к нежелательным формам относятся неоднозначные функции, локальные критерий, функции, имеющей разрывы непрерывности.
5. Информация, необходимая для формирования критерия не должна быть избыточной, что позволяет упростить измерительную систему и повысить надежность функционирования системы оптимального управления. Если целью управления является достижение максимальной точности (например, стабилизации, слежения) критерием оптимальности может служить средняя квадратическая ошибка управления в виде
где
-
отклонение управляемой величины от
заданного значения;
-
время наблюдения;
- текущее
время.
Если требования предъявляются не только к основной координате, но и к другим величинам (например, скорости, ускорения изменения), требования чаше всего задаются
в виде интегрального критерия:
где
,
заданные коэффициенты, учитывающие
значимость
го
показателя.
В
общем случае критерий оптимизации
зависит от состояния системы,
характеризуемой векторами состояния
задающим воздействием
,
возмущением
,
управляющих воздействий
,
а также времени
Тогда
В
классической задаче оптимального
управления требуется найти такое
управление
,
удовлетворяющее
,(
принадлежит области допустимых
управлений), а так же соответствующее
движение
, чтобы при переходе системы из состояния
в состояние
значение критерия
было минимальным.
В частном
случае при
et
получается
задача о максимальном быстродействии.