10.5. Частотные характеристики дискретных систем

Если на вход дискретной системы подать дискретный синусоидальный сигнал

X(n)=A₁sin (ωnT+φ₁),

где ω – круговая частота; A₁- амплитуда; φ₁- начальный фазовый сдвиг.

На выходе дискретной системы появится сигнал такого вида:

Y(n)=A₂(ω) sin(ωnT+φ₂).

Связь между сигналом на входе и сигналом на выходе определяется частотной характеристикой: Y(n)=W_р (e^jωΤ) x(n), где при z= e^jωΤ частотная характеристика разомкнутой системы, определяемая по дискретной передаточной функции разомкнутой системы путем замены s на jω. Часто эту характеристику называют комплексной передаточной функцией. Модуль комплексной функции

.

Кривая в функции частоты, построенная на комплексной плоскости, называется амплитудно-фазовой характеристикой (годографом Найквиста).

Характеристики F₁(ω)= = f₁(ω) et F₂ (ω) = f₂(ω) называются, соответственно, амплитудно-частотной (АЧ) и фазочастотной (ФЧ) характеристикой

разомкнутой системы.

Частотные характеристики дискретных систем имеют особенности в сравнении с таковыми непрерывных систем.

1. Периодичность частотных характеристик дискретных систем. Это свойство ЧХ дискретных систем следует из периодичности аргумента частотных характеристик:

Это значит, что свойства частотных характеристик повторяются с частотой ω₀=2π/T. Следовательно, достаточно рассматривать ЧХ дискретных систем в диапазоне

-π/T  /T. Так как ЧХ дискретных систем для частот -π/T  0 комплексно- сопряженные ЧХ в диапазоне 0 /T, достаточно рассматривать ЧХ в диапазоне

0/T.

2. Частотные характеристики дискретных систем начинаются и кончаются на комплексной плоскости, на вещественной оси.

Действительно, так как

так как .

10. 6. Исследование устойчивости дискретных систем

10.6.1.Общий критерий устойчивости дискретных систем

Дискретная система, так же как непрерывная, при определенных условиях может быть неустойчивой

В общем случае реакция дискретной системы на входной сигнал:

где установившаяся и переходная составляющая.

Если для любого n, система устойчива ;

Если хотя бы для одного n, система неустойчива.

Анализ устойчивости дискретной системы наиболее удобен, если возможно записать характеристическое уравнение замкнутой системы. Для системы, имеющей

передаточную функцию замкнутой системы

характеристическое уравнение замкнутой системы

Хорошо известно, что если корни характеристического уравнения находятся в области устойчивости, то система будет устойчивой.

Чтобы найти область устойчивых корней дискретной системы, необходимо искать в плоскости z. Эта зависимость следует из связи

Рассмотрим два характерных случая:

1. 

2. 

Следовательно, область устойчивых корней характеристического уравнения плоскости z есть круг единичного радиуса (рис.10.43).

Таким образом, общий критерий устойчивости замкнутой дискретной системы:

чтобы замкнутая дискретная система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы

корни характеристического уравнения находились бы в круге единичного радиуса плоскости z.

Если , то система находится на границе устойчивости; если хотя бы один корень >1, то система не устойчива.