10.3.3.9. Связь между z- преобразованием и непрерывным преобразованием Лапласа

Как известно, непрерывное преобразование Лапласа и преобразование Фурье непрерывного сигнала связаны между собой следующим образом:

; ; ;

Такая же связь существует дискретным преобразованием Лапласа и дискретным преобразованием Фурье:

В общем, виде, можно написать

Используя символические обозначения, введенные ранее, можно написать

■   .

Если заменить , то получим связь между Z-преобразованием и непрерывным преобразованием Лапласа:

.

Эту связь обозначают символически так

Однако практически используют два метода перехода от к.

1. Находят предварительно функцию-оригинал от известного :

○   .

Чтобы облегчить переход от к, используют часто разложение

на простейшие слагаемые, и затем находят отдельные составляющие по таблицам

соответствий.

Пример. Пусть

Разложение на простейшие слагаемые дает

Функции-оригиналы: Следовательно, имеем: Подвергая Z-преобразованию, получаем

2. Делают непосредственный переход от к, используя таблицы соответ-

ствия. Если в таблицах соответствия нет соответствующего выражения, прибегают к предварительному разложению на простейшие слагаемые.

Пример.

Пусть

Разложение на простейшие дроби

Делаем переход в Z-область:

Частный случай, когда выражение от s содержит члены, непосредственно имеющие .

В этом случае имеет место

Пример. Пусть

Следовательно, Находим, предварительно раскладывая выражение на простейшие дроби:

= Окончательно, имеем

10.3.3.10. Обратное z-преобразование

Обратным Z-преобразованием называют определение дискретной временной функции исходя из известного Z-преобразования.

Отметим, что невозможно восстановить полностью функцию-оригинал по известному Z-изображению. Можно лишь найти совокупность промежуточных значений временной функции.

Существует три способа определения по известному .

1. Использование таблиц соответствия между и . Иногда при этом выполняют предварительное разложение на простейшие слагаемые, которым имеется соответствие в таблицах соответствия.

2. Разложение в ряд по отрицательным степеням z в соответствии с основной формулой Z-преобразования

Когда представляет собой рациональную дробь, достаточно разделить числитель дроби на её знаменатель, чтобы получить ряд слагаемых, коэффициенты которых суть желаемые значения .

Пример. Пусть

1 +0,2 ^-1 +0,04 ^-2 + 0,008 ^-3 +

- 0,04 ^-1 Имеем тогда

0,04 ^-1

0,04 ^-1- 0,008 ^-2

0,008 ^-2

Из приведенного примера ясно, что метод деления числителя на знаменатель применим только к простым выражениям .

В общем случае, предпочтительно использовать готовое выражение .

Предположим, что выражение представляет рациональную дробь

Сделаем преобразование с целью получить в числителе и знаменателе ряды

по отрицательным степеням z . Для этого вынесем в числителе и знаменателе множители и:

Теперь представим последнее выражение в следующей форме:

Представим левую часть последнего выражения следующим образом (используя теорему смещения):

.

Теперь умножая обе части выражения на знаменатель, получим

Развертывая в ряд по отрицательным степеням z , получим:

И теперь приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях z:

для

для

В общей форме можно написать: .

При имеем

3. Использование общего выражения обратного Z-преобразования:

Контур кругового интеграла должен окружать все

полюса подынтегральной функции (рис.10.27).

Обычно вычисляют круговой интеграл с помощью

метода остатков:

.

Здесь N – число полюсов, q –число особых точек; n=0, N=q+1; при n>0 .

Пример.

;