10.8.2. Влияние порядка астатизма и периода дискретизации на ошибки в установившемся режиме

Пусть изучаемая система имеет передаточную функцию:

где k – общий коэффициент усиления системы; ν –порядок астатизма системы; - постоянные времени системы.

Определим коэффициенты ошибок по положению, скорости и ускорению дискретной системы, обладающей различным порядком астатизма

Статическая система (ν=0).

- преобразование, соответствующее будет

(Опускаем пределы произведений, чтобы упростить запись формул).

Подвергаем выражение, стоящее в фигурных скобках разложению на простейшие слагаемые члены, имеющие не нулевые полюса ().

Имеем тогда члены, обусловленные ненулевыми полюсами).

И для k_p имеем

(Следует заметить, что нет членов содержащих (z-1) в знаменателях членов, обусловленных ненулевыми полюсами; поэтому их пределы при z=1 будут равны нулю после умножения на (z-1) числителей членов, обусловленных ненулевыми полюсами.

Видно, что коэффициент ошибки по положению дискретной системы равен общему коэффициенту непрерывной части системы, и ошибка в установившемся режиме имеет то же выражение, что и в непрерывной системе

Подставляя в выражение для k_v и k_a, видно, что k_v и k_a оба равны нулю. Следовательно, C₁ = C₂ = ∞, что означает, что статическая система имеет бесконечные ошибки в установившемся режиме, если система будет подвергнута воздействию скачков скорости и ускорения.

2. Астатическая система первого порядка астатизма (ν=1).

Z- преобразование передаточной функции непрерывной части системы может быть определена следующим образом:

члены с ненулевыми полюсами}(члены, обусловленные ненулевыми полюсами]члены, обусловленные ненулевыми полюсами].

Не трудно видеть, что коэффициент положения и ошибка по положению в установившемся режиме рана нулю.

Скоростной коэффициент системы будет задан выражением

Следовательно, ошибка установившегося режима будет

Следует заметить, что в дискретном случае ошибка скоростного режима определяется так же, как в непрерывном случае.

Коэффициент ускорения

и ошибка в установившемся режиме равна бесконечности..

Следовательно, астатическая система первого порядка будет иметь ошибку по ускорению в установившемся режиме равную бесконечности.

3. Астатическая система второго порядка астатизма (ν=2).

члены с ненулевыми полюсами и

члены, обусловленные ненулевыми полюсами) =члены, обусловленные ненулевыми полюсами].

Коэффициент по положению и ошибка по положению нулевая.

Коэффициент по скорости и ошибка по скорости также равна нулю.

Коэффициент по ускорению

и ошибка по ускорению в установившемся режиме .

Следовательно, ошибки дискретной системы в установившемся режиме не зависят от периода дискретизации и определяются параметрами непрерывной части системы и типом сигнала, приложенного к входу системы.

10.8.4. Выбор частоты дискретизации

Какие соображения необходимо принять во внимание, выбирая частоту

дискретизации?

1. Она может быть известна заранее соответственно частоте, на которой работает тот или иной реальный элемент системы (например, дискретный задатчик сигнала программы, дискретный датчик обратной связи, импульсный исполнительный орган).

2. Она может быть выбрана исходя из желания обеспечит качественную

воспроизводимость задающего сигнала. Это обстоятельство особенно важно для

следящих систем управления и систем числового программного управления.

3. Наконец, она может быть выбрана по соображениям устойчивости и желаемых качественных показателей работы системы.

Рассмотрим сначала второй пункт сформулированных выше соображений, так как первый не зависит от нас, а третий связан с вторым.

Раньше мы нашли связь между спектрами непрерывного и дискретного сигналов:

Рис. 10. 59.отражаетэтусвязьграфически

Если частота дискретизации мала, мы имеем наложение спектров, и спектр дискретного сигнала не равен простой последовательности непрерывных спектров. Предположим, что имеется фильтр низких частот, наибольшая частота которого равна ω_M, где ω_M – частота максимальная спектра непрерывного сигнала. В этом случае фильтр фиксирует спектр, который отличается от спектра непрерывного сигнала (рис.10.60,a). Если частота дискретизации выбрана таким образом, что наложение спектров отсутствует, мы имеем совпадение спектров непрерывного и дискретного (рис. 10.60,б).

Из рис. 10.60,а и б видно, что круговая частота дискретизации ω₀=2π/T должна быть, по крайней мере, в два раза больше, чем максимальная частота спектра непрерывного сигнала ω_M.

Это заключение составляют основу теоремы Котельникова-Шеннона:

непрерывный сигнал может быть передан его дискретными значениями без искажений, если частота дискретизации, по крайней мере, в два раза больше, чем максимальная частота спектра непрерывного сигнала:

Чтобы применить теорему Котельникова-Шеннона для выбора частоты дискретизации, необходимо знать максимальную частоту спектра непрерывного сигнала. Спектры реальных сигналов имеют, как правило, быстропадающий модуль спектра при росте частоты, что допускает определить приближенно частоту ω_M, принимая определенные условия. Существует несколько методов определения частоты дискретизации.

1.Требуют, чтобы преобладающая часть энергии сигнала, оцениваемая интегралом от квадрата модуля спектра, находилась в полосе частот 0≤ ω ≤ ω_M.

Запишем условие выбора ω₀

где A –коэффициент, близкий к единице.

2. Требуют, чтобы модуль спектра непрерывного сигнала при частоте π/T

был бы равен где - значение модуля на частоте ω=0 и b – коэффициент, достаточно близкий к нулю:

.

3.Требуют, чтобы модуль спектра дискретного сигнала на частоте π/T был бы равен где a –коэффициент, близкий к нулю:

Так как условие выбора частоты квантования может быть записан так:

где рассчитываются просто, заменив предварительно в числителе z на (–1) и в знаменателе - на (1).

Мы видели, что частотные характеристики дискретной системы могут быть построены как сумма характеристик приведенной непрерывной части системы, расположенные вдоль оси частот

Обозначим значительную полосу частот, проходящих через приведенную непрерывную часть, ω_t. Предположим, что частота дискретизации выбрана так, чтобы характеристики не накладывались друг на друга. В этом случае, характеристики дискретной системы и приведенной части практически совпадают в полосе частот 0≤ ω ≤ ω_t.

Условие идентичности характеристик может быть записан так:

Это условие может рассматриваться как аналог теоремы Котельникова-Шеннона.

Во время анализа и синтеза дискретных систем выбирают где - частота среза характеристики «амплитуда-частота» приведенной непрерывной части системы.

Следовательно, чтобы обеспечить устойчивость системы и воспроизводимость управляющих сигналов управления, необходимо выбирать частоту дискретизации равной или выше, чем половина частоты среза характеристики приведенной непрерывной части системы. Это предварительное условие уточняется во время анализа и синтеза конкретной системы управления.

170