10.6.4. Критерий характеристического полинома устойчивости замкнутых дискретных систем.

Критерий характеристического полинома базируется на анализе прохождения годографа Михайлова относительно начала координат комплексной плоскости.

Вектор может быть построен по характеристическому полиному, который является левой партией характеристического уравнения замкнутой дискретной системы.

где 0 ≤ ω ≤ π/T.

Среди методов построения годографа Михайлова известны наиболее применимые. Это аналитический метод и метод графический. Аналитический метод применим к системам порядка 3-го не более. Графический метод применим к системам любого порядка. Он заключается в представлении характеристического полинома замкнутой системы в следующем виде:

Порядок построения годографа следующий:

1. Строят годограф по выражению: Это будет полукруг с центром в т. a₁ и радиусом a₀ (рис. 10 48).

2. Строят годограф поворачивая векторы на углы ωT.

3. Строят годограф de , перенося ось координат на a₂ налево или направо, (соответственно знаку a₂).

4. Строят годограф , поворачивая векторы для различных значений ω по отношению к новому началу координат 0₁.

5. Продолжая действия, описанные выше, получают, наконец

Годографы устойчивых систем порядка 2 и 4 показаны на рис.1049, a et b.

а) б)

Формулировка критерия устойчивости замкнутых дискретных систем вытекает из принципа аргумента, согласно которому вектор z-z_i соответствующий корню , получает приращение угла равно 2π, а вектор, соответствующий корню , имеет

приращение угла, равное 0, когда частота изменяется в пределах: 0 ≤ ω ≤2 π/T (рис.10.50).

Если все корни , общий прирост угла будет равен 2πn. Учитывая, что общее приращение угла будет в 2 раза меньше при изменении частоты в пределах

0 ≤ ω ≤ π/T по сравнению с изменением, равным (- π/T ≤ ω ≤ π/T), получим следующую формулировку критерия: дискретная замкнутая система будет устойчивой, если годограф проходит 2n квадрантов плоскости D в положительном направлении при изменения частоты в пределах 0 ≤ ω ≤ π/T, не становясь нулем, и не пересекаясь, сам с собой.

10.7. Построение логарифмических амплитудно-частотных (лачх) и фазочастотных характеристик(фчх) разомкнутых дискретных систем

10.7.1. Связь между круговой частотой ω и аргументом w-преобразования

Построение логарифмических амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик разомкнутых систем наталкивается на определенные трудности. В самом деле есть функция трансцендентная от ω, и расчет логарифмов прямым способом не возможен. Если мы возьмем выражение комплексной передаточной функции , мы имеем сумму, которая тоже не поддается логарифмированию. Поэтому используют преобразование, переводящее круг единичного радиуса плоскости  в левую полуплоскость новой переменной Поэтому мы используем- преобразование, которое нам уже известно.

Введем в это выражение, чтобы найти соотношение между w и ω:

где - относительная псевдочастота. Нетрудно заметить, что: интервал частот ω =(0≤ ω ≤π/T) соответствует изменению в интервале 0 ≤ ≤ ∞ что означает, что характеристики, построенные в функции , будут подобными характеристикам непрерывных систем.

На практике, строят характеристики дискретных систем в функции абсолютной псевдочастоты , откуда Дело в том, что на низких частотах

Это говорит о том, что частотные характеристики, построенные в функции ,совпадают практически с характеристиками приведенной непрерывной части дискретной системы.