10.6.2.3.Критерий устойчивости Шура - Кона

Чтобы воспользоваться критерием Шура - Кона необходимо поместить коэффициенты характеристического полинома в подматрицы, а потом из этих подматриц составить матрицы, детерминанты которых должны повергаться контролю.

Порядок составления подматриц следующий. Подматрица содержит диагональные элементы, равные , тогда как подматрицасодержит элементы, равные . Выше диагонали все элементы равны нулю. Ниже диагоналей элементы суть коэффициенты характеристического полинома с соседними индексами.

Кроме того, составляют транспонированные подматрицы Затем, располагают все четыре подматрицы в один детерминант порядка в соответствии со следующей схемой:

Детерминант имеет 2k строк et 2k столбцов. Изменяют k от 1 до n(k=1,2,3,…,n ).

Критерий Шура - Кона.

Все корни характеристического уравнения находятся внутри круга радиуса 1, если

все будут меньше нуля (<0) для нечетных k, и все выше нуля (>0) для четных k.

Примеры применения.

1. Пусть Нужно рассчитать детерминант и его сравнить с нулем.

Следовательно, необходимо для устойчивости, чтобы <0. Напомним, что Два элемента не могут одновременно быть меньше нуля; значит, Это и есть условия устойчивости.

2. Пусть характеристический полином Нужно оценить в этом случае et

Чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы

10.6.3. Амплитудно-фазовый критерий устойчивости замкнутых дискретных систем (критерий Найквиста)

Амплитудно-фазовый критерий устойчивости замкнутых дискретных систем базируется на рассмотрении амплитудно-фазовой характеристики (АФХ) разомкнутой системы относительно точки с координатами (-1,j0).

Как можно построить амплитудно-фазовую характеристику?

Существует множество способов построения амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы. Они почти все трудоемки. Изучим наиболее простой метод построения АФХ, основанный на использовании АФХ непрерывной части системы. Аналитическое выражение АФХ дискретной системы следует из её передаточной функции

Используем выражение наиболее простое соотношение

Нужно помнить, что 0 ≤ω≤ π/Τ et ω₀ = 2π/Τ.

Построение АФХ разомкнутой дискретной системы может быть выполнено путем сложения векторов АФХ непрерывной системы для различных значений частоты. Но число таких векторов будет равно бесконечности. На практике ограничиваются суммированием всего двух векторов:

1. и 2)

Это два наиболее крупных вектора. Действительно, вектор

меньше (рис. 10.44).

Вектор определяется по отраженной относительно вещественной оси характеристике непрерывной части системы. Но, в действительности он определяется по обычной характеристике, но как вектор, сопряженный

Следовательно, АФХ дискретной системы строится следующим образом.

1. Строят АФХ непрерывной части дискретной системы по выражению.

2. Добавляют к значениям для всех значений из диапазона 0 ≤ω_i≤ π/Τ.

3. Получают АФХ дискретной системы, соединив концы векторов

Переходим к формулировке критерия устойчивости Найквиста.

1.Если разомкнутая система устойчива, то замкнутая система будет устойчива, если АФХ разомкнутой системы не окружает точку с координатами (-1,j0). Рис.10.46 отражает этот факт.

2.Если разомкнутая система неустойчива, то в замкнутом состоянии система будет устойчивой, если АФХ окружает критическую точку с координатами m/2 раз, где m- число корней передаточной функции дискретной системы, по модулю больше 1.

Можно также пользоваться редакцией критерия Найквиста для логарифмических характеристик разомкнутой системы. Чтобы дискретная система была устойчивой необходимо и достаточно, что бы фазочастотная характеристика не пересекала линию -180º или пересекала её сверху вниз и снизу вверх одинаковое число раз в интервале частот, где амплитудно-частотная характеристика в децибелах выше нуля (рис 10.47).

Но чтобы использовать критерий Найквиста по логарифмическим характеристикам, нужно знать, как строить эти характеристики.