16. Нечеткие системы управления

16.1. Элементы четкой логики

Формальная логика это совокупность законов и правил логического вывода. Она

стала математической логикой после появления научных работ Бользано, Буля, Моргана

в 19 веке.

Теория совокупностей стала в наше время базой математических приложений для современной промышленной модернизации. Теория ансамблей это раздел математики, которая изучает свойства ансамблей и операции, которым она может быть подвержена.

Ансамблем называют совокупность элементов или чисел, имеющих одно или множество свойств, которые их характеризуют.

Множество, имеющее ограниченное число элементов, называется замкнутым множеством. Например, число арабских цифр: .

Бесконечным множеством называется ансамбль элементов, число которых бесконечно.

Обозначают множество черези элементы множества через Имеем, следовательно,

Тот факт, что элемент есть часть множества, обозначают так: .

Число элементов множества называется мощностью множества (обозначается через #). Например, #=10.

Ансамбль элементов, имеющих общее свойство в множестве , называется конечным множеством ( конечное множество, определенное в общем множестве каким-либо свойством обозначается ). Например, число нечетных цифр это конечное множество общего ансамбля .

На практике часто пользуются графическим представлением множеств и операций, которым они могут быть подвергнуты. Такое представление называется диаграммой Венна. Например, диаграмма Венна, показанная на рис.16.1, представляет множество четных цифр во множестве всех цифр.

Кроме графического представления существует другой способ определения множеств с помощью характеристической функции.

Характеристическая функция , определяющая множество в общем множестве , представляет собой отображение, для которого это область определения,

, то-есть, :¨

Следовательно, графическое представление характеристической функции будет следующим: (рис. 16.2).

16.2. Логические операции над множествами

1. Операция вложения множеств.

Если элементы множестваобязательно принадлежат множествуВ, множествоназывается собственным подмножеством . Рис.13.3 показывает операцию вложенияв ().

В форме характеристической функции: .

2. Операция дополнения множествав.

Дополнение есть множество элементов, не содержащихся в( рис.13.4). Характеристическая функция, соответствующая этой операции:

.

3. Операция пересечения (произведения) множеств и в (). Результат перемножения двух множеств это множество элементов, принадлежащих одновременно и (рис.13.5).

Запишем эту операцию с помощью характеристических функций: ,

где - знак операции взятия минимума:

4. Операцияобъединенияи de ().

Объединение и- множество элементов, принадлежащих либо, либо

(рис. 13.6). Характеристические функции, соответствующие этой операции:

где - знак взятия максимума:

Для перечисленных выше операций справедливы следующие свойства:

1) закон идемпотенции:

2) закон коммутативности:

3) закон ассоциативности:

4) закон абсорбции:

5) закон дистрибутивности:

6) закон комплементарности: .