13. Экстремальные системы

13.1. Примеры и цели экстремальных систем

Главная задача экстремальных систем гарантировать наилучший статический режим объекта управления. Предположим, что объект, кроме того, имеет зависимость критерия в

зависимости от управляющего воздействия. Отсюда следует, если статическая характеристика имеет экстремум, экстремальный регулятор должен обеспечивать поддержание рабочей точки экстремума, независимо от его дрейфа, и удерживать её в области экстремума,

Замечательным примером объекта, имеющего экстремальную характеристику, является топочная установка энергетического блока: расход воздуха на горение ,температура топочного газа имеет экстремум-максимум при некотором значении(кривая 1 на рис. 13.1). Позиция изменяется с изменением расхода газа или качества топлива

(кривые 2 et 3 на рис.13.1).

Задача экстремального регулятора изменять положение

точки в функции времени. Другой пример объекта, имеющего экстремум статической характеристики, измельчительный агрегат твердого топлива

для топочной установки. Управляемая величина агрегата

– его производительность, которая может быть изменена за счет изменения поступления материала в агрегат.

Эта зависимость имеет экстремум (кривая1на рис.13.2).

При этом участок OA кривой 1 соответствует устойчивому режиму а отрезок АВ соответствует неустойчивому режиму, так как увеличение производительности на входе может вызвать полную остановку агрегата.

Изменение качества размельчения ведет к смещению точки экстремума. Чтобы решит такую задачу, необходимо использовать экстремальный регулятор.

Принято делить экстремальные системы на несколько групп:

1) системы непрерывные и дискретные;

2) системы одно и многоканальные;

3) системы с прямым измерением производной и с запоминанием экстремума, системы с внешним сигналом поиска экстремума.

13.2. Непрерывные экстремальные системы

Среди непрерывных экстремальных систем наиболее часто используемые системы одноканальные. Такие системы более просты, они позволяют улучшить свое поведение в установившихся и динамических режимах и значительно расширить группу объектов, для которых экстремальное управление является эффективным.

Информация, необходимая для реализации экстремальных систем этого типа, это:

- статическая характеристика объекта управления и значение производной или, по крайней мере, знак этой производной.

Рассмотрим в качестве примера систему дизель-генератора, работающего параллельно с электрической сетью. Главная задача такой системы обеспечить максимизацию его коэффициента полезного действия (КПД) () при условии нестабильности зависимости , где расход топлива, подводимого к дизелю. Какой бы ни была функция , экстремальное значениебудет достигнуто при Поэтому необходимо вычислять текущее значение и осуществлять управление так, чтобы величина производной стремилась к нулю.

Возможный вариант функциональной схемы представлен на рис.13.3.

Информация о входной мощности , пропорциональной расходу топлива и о выходной мощности генератора , дает возможность непрерывно измерять КПД установки Дифференцирующие элементы дифференцируют .

Сигнал , пропорциональный отношению производных , приложен к исполнительному механизму (ИМ). Последний, в соответствии со знаком и величиной изменяет расход подводимого топлива до тех пор, пока не будет достигнуто равенство . В рассматриваемой системе скорость изменения величины пропорциональна ,

то-есть,

(1)

где коэффициент передачи исполнительного механизма.

В том случае, если определяется только знак производной , исполнительный механизм движется в ту или иную сторону с постоянной скоростью

где функция переключения; единичная функция, знак которой определяется знаком функции ; зона нечувствительности экстремального регулятора.

Второй пример экстремальной системы.

Функциональная схема рассматриваемой системы

представлена на рис.13.4.

Объект управления системы представляет собой два последовательно соединенных звена: нелинейное безынерционное (НЗ), уравнение которого приближенно можно записать в виде параболы ,

и линейное звено (ЛЗ), дифференциальное уравнение которого имеет вид:

(3)

где коэффициент усиления и постоянная времени объекта управления.

Исполнительный механизм системы (ИМ) представляет собой интегрирующее звено, описываемое уравнением

(4)

Экстремальный регулятор функционирует на основании информации о знаке производной в соответствии с выше написанным выражением.

Задача состоит в определении динамических показателей работы системы.

Решение.

Перепишем (3) с учетом (2) в виде

Тогда с учетом (4) и (1) имеем

Обозначив получим

(5)

Заметим, что полученное уравнение представляет собой уравнение фазовой траектории в координатах

Общее решение уравнения (5) дается в следующей форме

где - постоянная интегрирования.

После двойного интегрирования по частям выражения, стоящего в квадратных скобках, окончательно получим уравнение фазовой траектории в явном виде:

(6)

где определяется из начальных условий и  :

(7)

Фазовая траектория, построенная на рис.13.5, в соответствии с (6), характеризует движение системы на фазовой плоскости с координатами .

Используя фазовую траекторию, можно определить качественные показатели работы системы. К ним относятся потери на поиск (Р), время выхода в зону экстремума () и параметры автоколебаний (). В последнем случае помимо периода автоколебаний определяется размах колебаний как управляющего воздействия (зона поиска на входе), так и размах (зона поиска на выходе). Из рис. 13.5 видно, что и . Период автоколебаний находится по формуле: .

Разность между максимальным и средним значением критерия на выходе определяет потери на поиск (на рис.13.5). Эти потери характеризуют точность поддержания экстремума

Показатели работы экстремальной системы можно получить по поведению выходной координаты во времени.

Время выхода в зону экстремума соответствует интервалу , включающему начало поиска и момент времени, в который выходная величина достигнет своего максимального среднего значения. По временному графику легко определить период (), амплитуду колебаний в зоне экстремума ().