Алгоритм Ярника-Прима-Дейкстры

4. Нижняя граница задачи нахождения МОД

Реализация алгоритма Ярника-Прима-Дейкстры для разреженных графов

Алгоритм Ярника-Прима-Дейкстры построения МОД

Пример 1. МОД.

Пример выполнения алгоритма Ярника-Прима-Дейкстры

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекция 06 24 марта / Лекция 6 МОД.ppt

Скачиваний:

Добавлен:

09.02.2015

Размер:

1.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

{Детализация фрагмента ф1:} min := + ;

for x (V \ Vt) do

if D [x,Near[x]] < min then begin

min := D [x,Near[x]] ; v := x

end;

{Можно наряду с Near[*] использовать рабочий массив расстояний Dist[x] = D [x,Near[x]] }

24.03.2014	Алгоритмы на графах:	21
	построение МОД

b	20	c	Алгоритм Ярника-Прима-Дейкстры
			Алгоритм Ярника-Прима-Дейкстры

f e

a	g	a	b	a		a		a		a
b	g	b		b		b		b		b
c		c	b	c	a	c		c		c
d		d		d	a	d	a	d		d
e		e		e	a	e	a	e	d	e
f	g	f	g	f	a	f	a	f	a	f e

24.03.2014	Алгоритмы на графах:	22
	построение МОД

Худший случай: полный граф m = n(n 1)/2. Алгоритм ЯПД – асимптотически оптимальный.

Действительно, симметричная матрица весов содержит n(n1)/2 элементов. В том числе и вес минимального ребра.

Сопоставим задачу МОД с задачей нахождения минимума из n(n 1)/2 элементов, которая решается за n(n 1)/2 шагов и не менее.

Пусть для заданной матрицы решили задачу МОД.

Из остовного дерева, содержащего (n 1) ребро, за (n 1) шаг извлекаем минимальный элемент матрицы.

Если задача МОД решается за менее, чем n(n 1)/2 (n 1) шагов, то и задачу нахождения минимума из n(n 1)/2 элементов можно решить за менее, чем n(n 1)/2 шагов, что неверно.

Итак, нижняя граница задачи МОД: O(n2).

24.03.2014	Алгоритмы на графах:	23
	построение МОД

Пусть наряду с Near[*] используется рабочий массив расстояний Dist[x] = D [x,Near[x]]. Реализуем из данных (x, Near[x], Dist[x]) очередь с приоритетами по ключу Dist[x].

Минимальный элемент извлекается (с восстановлением пирамиды) за O (log n) действий.

При помещении вершины v в остовное дерево производим коррекцию данных о вершинах, смежных с v и находящихся в очереди. Коррекция каждой такой вершины x (ребра {v, x}) требует O (log n) действий, но при этом такое ребро «возникает» и «исчезает» лишь один раз за все время. Т.о. суммарно требуется O ((n+m) log n) операций, или, что то же O (m log n).

Ср. с O (n2) (например, при m =O (n))

24.03.2014	Алгоритмы на графах:	25
	построение МОД

Примеры выполнения. Варианты:

•Стандартный - для «плотных» графов (m

=O(n))

•Для разреженных графов (m = O(n))

24.03.2014	Алгоритмы на графах:	26
	построение МОД

Пример 1. МОД. Алгоритм ЯПД (n = 9; m = 20)

b17

16	3
16
	4

11 9

*	a
0 шаг	-
1 шаг	-
2 шаг	-
24.03.2014

	14 d	b	17	c	14 d
20	15		3	20	15
	19	16	3	2	19
	19	16			19
			4

b c

4 2

4 !-

e			i		1		a

	18	8				10
				11		9

f		h			7		g
	d	e		f		g
15		13		12		10
15		13		12		9
14		13		12		9

1 !-

Алгоритмы на графах: Упрощенное представление 27 построение МОД

b	17		c	14
16		3	20	15
		3	2

		4
i		1	a	13
8			10	5
8	11	9	10	12
	11	9		12

h 7 g 6

Алгоритм ЯПД (n = 9; m = 20) 2

	19	После двух шагов
	19
e		Текущее МОД: {a, i, c}
e

18	После четырех шагов
f	Текущее МОД: {a, i, c, b, h}

2 шаг 3 шаг 4 шаг

a	b	c	d	e	f	g	h	i
-	4	!-	14	13	12	9	8	-
-	!-	-	14	13	12	9	8	-
-	-	-	14	13	12	7 (7)	!-	-

24.03.2014	Алгоритмы на графах:	28
	построение МОД

Пример 1. МОД. Алгоритм ЯПД (n = 9; m = 20) 3

b		17		c		14	d
b				c	20 15		d		После четырех шагов
16			3	2	20 15			19	После четырех шагов
16								19	Текущее МОД: {a, i, c, b, h}
			4						Текущее МОД: {a, i, c, b, h}
	i	1	4	a		13	e
		1

8		11	9	10	5			18	После шести шагов
		11	9		12
h		7		g		6	f		Текущее МОД: {a, i, c, b, h, g, e}

4 шаг 5 шаг 6 шаг

a	b	c	d	e	f	g	h	i
-	-	-	14	13	12	7	!-	-
-	-	-	14	5 (5)	6	!-	-	-
-	-	-	14	!-	6	-	-	-

24.03.2014	Алгоритмы на графах:	29
	построение МОД

Пример 1. МОД. Алгоритм ЯПД (n = 9; m = 20) 4

b17

16	3
16
	4

11 9

20 15

b c

После шести шагов

Текущее МОД: {a, i, c, b, h, g, e}

После восьми шагов Результат - МОД:

{a, i, c, b, h, g, e, f,

W = 1+2+4+8+7+5+6+14 = 47

6 шаг 7 шаг 8 шаг

-	-	-	14	!-	6	-	-	-
-	-	-	14	-	!-	-	-	-
-	-	-	!-	-	-	-	-	-

24.03.2014	Алгоритмы на графах:	30
	построение МОД

Начальная вершина – g

W(T) = 23+1+4+9+3+17 = 57

– вариант для разреженных графов

См. слайд 25

24.03.2014	Алгоритмы на графах:	31
	построение МОД

Пример 2. МОД. Алгоритм ЯПД (n = 9; m = 20) 1

b	17		c	14	d	(x, Near[x], Dist[x])		Dist[x] = D [x,Near[x]].
b	17		c	14	d
16		3	20	15	19		(x, Dist[x])
		3	2

		4					(b,4)
i	1		a		e		(b,4)
i	1		a	13	e		(c,2)	(d,15)
				5			(c,2)	(d,15)
8			10	5	18
8	11	9	10	12		(e,13)	(f,12)	(g,10)	(h,11)
	11	9		12		(e,13)	(f,12)	(g,10)	(h,11)
h	7		g	6	f	(i,1)

(b,4)

(c,2)

(d,15)

(e,13)

(f,12)

(g,10)

(h,11)

(i,1)

0 шаг -

24.03.2014	Алгоритмы на графах:	32
	построение МОД

Пример 2. МОД. Алгоритм ЯПД (n = 9; m = 20) 2

b 17 c

16	3	2

	4

i 1 a

8 10

11 9

h 7 g

20 15

(c,2)

Шаг 1 ТМОД = {a, i}

		(i,1)
	(c,2)		(g,10)
(b,4)	(f,12)	(d,15)	(h,11)

(e,13)

(c,2)

(b,4)

(g,9)

(b,4)

(h,8)

(e,13)

(f,12)

(d,15)

(h,8)

(e,13)

(f,12)

(d,15)

(g,9)

24.03.2014	Алгоритмы на графах:	33
	построение МОД

Пример 2. МОД. Алгоритм ЯПД (n = 9; m = 20) 3

b 17 c

16	3	2

	4

i 1 a

8 10

11 9

h 7 g

20 15

(b,4)

d	Шаг 2		ТМОД = {a, i, c}
d
19
e			(c,2)
e		(b,4)	(h,8)
		(b,4)	(h,8)
18	(e,13)	(f,12)	(d,15)	(g,9)
	(e,13)	(f,12)	(d,15)	(g,9)

	(g,9)			(h,8)


(e,13)		(f,12)	(d,14)

24.03.2014	Алгоритмы на графах:	34
	построение МОД

Пример 2. МОД. Алгоритм ЯПД (n = 9; m = 20) 4

b	17		c	14	d	Шаг 3		ТМОД = {a, i, c, b}
b	17		c	14	d
16		3	20	15	19
		3	2

		4						(b,4)
i		1	a	13	e			(b,4)
i		1	a	13	e
8			10	5	18		(g,9)	(h,8)
8		9	10	12
11		9		12		(e,13)	(f,12)	(d,14)
						(e,13)	(f,12)	(d,14)
h	7		g	6	f
			(h,8)
		(g,9)			(d,14)
(e,13)		(f,12)

24.03.2014	Алгоритмы на графах:	35
	построение МОД

Пример 2. МОД. Алгоритм ЯПД (n = 9; m = 20) 5

b	17		c	14	d	Шаг 4		ТМОД = {a, i, c, b, h}
b	17		c	14	d
16		3	20	15	19
		3	2

		4						(h,8)
i	1		a		e			(h,8)
i	1		a	13	e		(g,9)	(d,14)
				5			(g,9)	(d,14)
8			10	5	18
8	11	9	10	12		(e,13)	(f,12)
	11	9		12		(e,13)	(f,12)
h	7		g	6	f
			(g,7)

(f,12) (d,14)

(e,13)

24.03.2014	Алгоритмы на графах:	36
	построение МОД

Пример 2. МОД. Алгоритм ЯПД (n = 9; m = 20) 6

b 17 c

16	3	2

	4

i 1 a

8 10

11 9

h 7 g

20 15

(f,6)

(e,5)		(d,14)

Шаг 5 ТМОД = {a, i, c, b, h, g}

(g,7)

(f,12) (d,14)

(e,13)

(e,5)

(f,6)		(d,14)

24.03.2014	Алгоритмы на графах:	37
	построение МОД

Пример 2. МОД. Алгоритм ЯПД (n = 9; m = 20) 7

b 17 c

16	3	2

	4

i 1 a

8 10

11 9

h 7 g

	14	d	Шаг 6	ТМОД = {a, i, c, b, h, g, e}
	14	d
20	15	19
	13	e		(e,5)
	13	e
	5	18	(f,6)	(d,14)
	12	18
	6	f

(f,6)

(d,14)

24.03.2014	Алгоритмы на графах:	38
	построение МОД

Пример 2. МОД. Алгоритм ЯПД (n = 9; m = 20) 8

b		17		c		14	d			Шаг 7				ТМОД = {a, i, c, b, h, g, e}



			3		20	15
16				2	20	15		19							(f,6)
															(f,6)
			4


	i	1		a		13	e					(d,14)
												(d,14)



8				10		5		18
						5					(d,14)
		11	9			12



h		7		g		6	f
h		7		g		6	f		Шаг 8				ТМОД = {a, i, c, b, h, g, e, f, d}
									Шаг 8				ТМОД = {a, i, c, b, h, g, e, f, d}

24.03.2014	Алгоритмы на графах:	39
	построение МОД

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>