ФТТ_9283_Зикратова_1_лаб

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина)

Кафедра МНЭ

отчёт

по лабораторной работе №1

по дисциплине «Физика твёрдого тела»

Тема: Исследование зонной структуры кристаллов

Студенты гр. 9283		Зикратова А. А.
		Брацышко К. Б.
Преподаватель		Захарченко М. В.

Санкт-Петербург

2021

Цель работы.

Исследование зонной структуры при различных приближениях.

Основные теоретические положения.

Приближение почти свободных электронов

Блоховская волновая функция, удовлетворяющая уравнению Шредингера Ĥ(x)Ψ_k(x) = E(k)Ψ_k(x), всегда может быть представлена в виде:

Ψ_k(x) =

где - периодическая ее часть. Как и любая периодическая функция, она может быть разложена в ряд Фурье:

= ,

где k играет роль параметра, а

=

Таким образом, блоховская волновая функция принимает вид

φ_k(x) = ,

Под Подстановка этой функции в уравнение Шредингера с последующим умножением обеих его частей на и интегрированием по объему кристалла приводит к следующему уравнению относительно коэффициентов

= E(k)

Это уравнение является уравнением Шрёдингера в представлении плоских волн. Гамильтониан в этом представлении имеет вид:

,

где - Фурье-образ периодического потенциала решётки U(x)

=

Уравнение Шрёдингера в этом представлении имеет вид бесконечной системы алгебраических уравнений, где k играет роль параметра.

Энергетический спектр электрона E_n(k) определяется из условия разрешимости этой системы, т. е. из решения секулярного уравнения:

det[ – E(k) ] = 0

Систему уравнений можно решить приближённо, если ограничиться конечным числом рассматриваемых состояний b.

Рис. 1 – Трансформация энергетического спектра свободного электрона в одномерном кристалле, а – схема расширенных зон, б – схема приведённых зон

Появление запрещённых зон в сплошном спектре свободного электрона обусловлено наличием периодического потенциала в кристалле.

Рис. 1 – Модельный кристаллический потенциал (модель Кронига – Пенни), U₀ – амплитуда потенциала в эВ, a = (c+d) – период решётки, d – ширина барьера

Экспериментальные результаты.

Ⅰ) Энергетические спектры в 3-х нижних зонах (n = 1, 2, 3) одномерного кристалла при различных значениях амплитуды потенциала (U₀) и ширины барьера (d).

1. Слабосвязанные электроны (при d = 4 A⁰): рассматривается относительно свободный электрон в возрастающем поле кристаллической решётки.

U₀ = 0 эВ

Рис. 2 – Энергетический спектр электрона в трёх нижних зонах одномерного кристалла при U₀ = 0 эВ

U₀ = 0,1 эВ

Рис. 3 – Энергетический спектр электрона в трёх нижних зонах одномерного кристалла при U₀ = 0,1 эВ

U₀ = 1 эВ

Рис. 4 – Энергетический спектр электрона в трёх нижних зонах одномерного кристалла при U₀ = 1 эВ

U₀ = 3 эВ

Рис. 5 – Энергетический спектр электрона в трёх нижних зонах одномерного кристалла при U₀ = 3 эВ

U₀ = 8 эВ

Рис. 6 – Энергетический спектр электрона в трёх нижних зонах одномерного кристалла при U₀ = 8 эВ

б) Сильносвязанные электроны (при U₀ = 10 эВ), изменяется расстояние между атомами (d): данное приближение основано на рассмотрении жёсткой связи электрона со «своим» атомом и воздействии на него потенциалов атомов кристаллической решётки.

d = 4 A⁰

Рис. 7 – Энергетический спектр электрона в трёх нижних зонах одномерного кристалла при d = 4 A⁰

d = 2 A⁰

Рис. 8 – Энергетический спектр электрона в трёх нижних зонах одномерного кристалла при d = 2 A⁰

d = 1 A⁰

Рис. 9 – Энергетический спектр электрона в трёх нижних зонах одномерного кристалла при d = 1 A⁰

d = 0,5 A⁰

Рис. 10 – Энергетический спектр электрона в трёх нижних зонах одномерного кристалла при d = 0,5 A⁰

при d = 0 A⁰ нельзя сказать какому именно атому принадлежит рассматриваемый электрон, другими словами, перемещается относительно свободно в кристаллической решётке:

Рис. 11 – Энергетический спектр электрона в трёх нижних зонах одномерного кристалла при d = 0 A⁰

Метод сильной связи: каждая разрешённая зона формируется из дискретных уровней изолированных атомов. По мере сближения соседних атомов (d уменьшается) ширина зон разрешённых энергий увеличивается, поскольку величина интегралов перекрытия (характеризует меру воздействия соседнего атома на электрон) возрастает (вероятность туннелирование электрона возрастает). При увеличении энергии электрона величина потенциального барьера становится меньше и, соответственно, возрастает вероятность туннелирования электрона, а зоны разрешённых энергий уширяются.

Метод слабой связи: по мере увеличения поля кристаллической решётки электрон становится сильнее связан с каким-нибудь атомом, вероятность туннелирования снижается за счёт возрастающей разницы энергии электрона и потенциального барьера и, соответственно, полосы разрешённых значений энергии сужаются.

Что приближение сильно связанных электронов, что приближение почти свободных электронов приводит к появлению разрешённых и запрещённых зон в энергетическом спектре электронов в кристалле.

Ⅱ) Волновые функции электрона в 3-х нижних зонах (n = 1, 2, 3) при k = 0 и U₀ = 5 эВ:

d = 0,5 A⁰

Рис. 12 – Волновые функции электрона в трёх нижних зонах одномерного кристалла при d = 0,5 A⁰

d = 1 A⁰

Рис. 13 – Волновые функции электрона в трёх нижних зонах одномерного кристалла при d = 1 A⁰

d = 3 A⁰

Рис. 14 – Волновые функции электрона в трёх нижних зонах одномерного кристалла при d = 3 A⁰

d = 6 A⁰

Рис. 15 – Волновые функции электрона в трёх нижних зонах одномерного кристалла при d = 6 A⁰

d = 10 A⁰

Рис. 16 – Волновые функции электрона в трёх нижних зонах одномерного кристалла при d = 10 A⁰

По мере отдаления атомов друг от друга в кристалле, уменьшается величина интеграла перекрытия волновых функций (об этом можно судить по убыванию модуля волновой функции в полосах ширины потенциального барьера) , в связи с чем уменьшается вероятность туннелирования электрона (прохождение сквозь потенциальный барьер) и сужаются полосы разрешённых значений энергии.

Ⅲ) Расчёт минимальных E_{n min} и максимальных E_{n max} энергий разрешённых зон (n = 1, 2, 3) в зависимости от d и U₀:

U₀ = 5 эВ, d = 0, 0,02 … 5 А⁰ ; c = 5 А⁰ – ширина потенциальных ям

Рис. 17 – Минимальные и максимальные энергии разрешённых зон при U₀ = 5 эВ, d = 0, 0,02 … 5 А⁰

При сближении атомов происходит расщепление энергетических уровней, что приводит к появлению и уширению зон разрешённых значений энергий.

d = 2 А⁰, U₀ = 0, 0,05 … 10 эВ,

Рис. 18 – Минимальные и максимальные энергии разрешённых зон при d = 2 А⁰, U₀ = 0, 0,05 … 10 эВ

Меняя потенциальный барьер, фактически рассматриваем электрон в различных кристаллических решётках, в которых электрон в меньшей или большей степени взаимодействует с атомом, находящимся в узле. Убывание полос разрешённых значений энергии связано с тем, что по мере увеличения потенциального барьера (т. е. увеличение кулоновского взаимодействия между электроном и атомом в узле кристаллической решётки) энергия электрона снижается. При увеличении n возрастает количество подуровней, что приводит к большему расщеплению энергетических уровней.

Ⅳ) Зависимости ширины запрещённой зоны (E_g = E_{3 min} – E_{2 max}) от d и U₀. Две нижние зоны кристалла (n = 1, 2) полностью заполнены электронами:

U₀ = 5 эВ, d = 0, 0,02 … 5 А⁰ ; c = 5 А⁰ – ширина потенциальных ям

Рис. 19 – Зависимость ширины запрещённой зоны при U₀ = 5 эВ, d = 0, 0,02 … 5 А⁰

При сближении атомов зоны разрешённых энергий уширяются, т. к. интеграл перекрытия возрастает (волновые функции значительнее перекрываются, влияние соседних атомов возрастает, за счёт чего повышается вероятность туннелирования электрона между отдельными атомами кристаллической решётки), за счёт чего зона запрещённой энергии сужается E_g = E_{3 min} – E_{2 max} . При отдалении соседних атомов на расстояния, при которых их влияние незначительно, величина ширины запрещённой зоны стремится к конкретному значению E_g, характерному для изолированного атома.

d = 2 А⁰, U₀ = 0, 0,05 … 10 эВ

Рис. 20 – Зависимость ширины запрещённой зоны при d = 2 А⁰, U₀ = 0, 0,05 … 10 эВ

При увеличении амплитуды кристаллического потенциала потребуется большее количество энергии для перехода электрона на другой уровень.

Ⅴ) Зависимости групповой скорости электрона V_n и его эффективной массы m_n от волнового вектора k в 2-х верхних зонах (n = 2, 3):

U₀ = 7 эВ, d = 2 А⁰ ;

Рис. 21 – Зависимости групповой скорости электрона и его эффективной массы при U₀ = 7 эВ, d = 2 А⁰

Функция Блоха для электронного состояния, лежащего у края зоны, представляет собой стоячую волну, потому что электрон с волновым вектором, движущийся с импульсом, перпендикулярным границе зоны Бриллюэна, испытывает дифракцию Брэгга. Стоячая волна не переносит энергию, а значит на границах зоны Бриллюэна групповая скорость электрона равна нулю. Эффективная масса отражает способность электрона реагировать на внешнее поле, действующее совместно с периодическим потенциалом.

Ⅵ) Расчёт плотности состояний ρ(E) в 3-х нижних зонах (n = 1, 2, 3) при различных параметрах U₀ и d:

U₀ = 5 эВ, d = 0 А⁰

Рис. 22 – Плотность энергетических состояний ρ(E) при U₀ = 5 эВ, d = 0 А⁰

U₀ = 5 эВ, d = 1 А⁰

Рис. 23 – Плотность энергетических состояний ρ(E) при U₀ = 5 эВ, d = 1 А⁰

U₀ = 5 эВ, d = 5 А⁰

Рис. 24 – Плотность энергетических состояний ρ(E) при U₀ = 5 эВ, d = 5 А⁰

На графиках плотности состояний электрона появляются полосы запрещённых энергий (для несвободных электронов), где ρ(E) = 0.

Вблизи E_v(n) и E_c(n) плотность состояний изменяется по обратному корневому закону (ρ(E) ~ 1/ ) в параболическом приближении (аппроксимация закона дисперсии параболической зависимостью вблизи экстремумов в зонной структуре) → растёт плотность состояний вблизи краёв зон.

Вывод:

В ходе лабораторной работы были рассмотрены приближения сильно связанных электронов и почти свободных электронов. Различие состоит в способах рассмотрения движения электрона в кристалле: при сильной связи электрон рассматривается жёстко связанным со «своим» атомом и воздействия соседних рассматривается как возмущения (блоховская ф-ция ищется в виде суммы локализованных ф-ций), при слабой связи рассматривается относительно свободный электрон, на который воздействует поле кристаллической решётки, и функция Блоха ищется в виде разложения в ряд Фурье периодической ф-ции. Приближение сильно связанных электронов, как и приближение почти свободных электронов, приводит к появлению разрешённых и запрещённых зон в энергетическом спектре электронов в кристалле.