Мустафакулова Г.Н. / Лекция 5

ТОЭ (Лекция 5)

Метод узловых потенциалов

Теоретическая база метода узловых потенциалов – 1-ый закон Кирхгофа в сочетании с потенциальными уравнениями ветвей. В этом методе потенциал одного из узлов схемы принимают равным нулю, а потенциалы остальных (n 1) узлов считают неизвестными, подлежащими определению. Общее число неизвестных составляет (n 1).

Рассмотрим обобщенную ветвь некоторой сложной схемы (рис. 18).

Iк Rк Eк

1 2

Рис. 18 Свяжем потенциалы концов ветви (узлов) между собой через падения

напряжений на отдельных участках:

Уравнение, связывающее потенциалы конечных точек ветви через падения напряжений на ее отдельных участках, называется потенциальным уравнением ветви. Из потенциального уравнения ветви могут быть определены ток ветви и напряжение на резисторе:

Пусть требуется выполнить расчет режима в заданной сложной схеме рис. 19. Параметры отдельных элементов схемы заданы.

Принимаем потенциал узла 0 равным нулю ( 0 = 0), а потенциалы узлов 1 и 2 ( 1 и 2) будем считать неизвестными, подлежащими определению.

Зададимся положительными направлениями токов в ветвях схемы I1, I2, I3, I4, I5. Составим потенциальные уравнения ветвей и выразим из них токи ветвей:

I1 =( 1 – 0 + E1 )/ R1

I2 =( 2 – 0 + E2 )/ R2

I3 =( 1 – 0 + E3 )/ R3

I4 =( 0 – 1 )/ R4

I5 =( 0 2 )/ R5

Составим (n 1) уравнение по 1-му закону Кирхгофа для узлов 1 и 2:

I1 – I3 + I4 – J1 – J2 = 0

I2 + I3 + I5 + J2 =0

Подставим в уравнения 1-го закона Кирхгофа значения токов, выраженные ранее из потенциальных уравнений. После приведения коэффициентов получим систему узловых уравнений:

В обобщенной форме система узловых уравнений имеет вид:

1 G11 2 G12 3 G13 ... n G1n = J111 G21 + 2 G22 2 G23 ... n G2n = J221 G31 2 G32 + 3 G33 ... n G3n =J33

……........................................…...............

1 Gn1 2 Gn2 3 Gn3 ...+ n Gnn = Jnn

Здесь введены следующие обозначения:

G11 =1/R1 +1/R3 +1/R4; G22 =1/R2 +1/R3 +1/R5 и т.д. – собственные проводимости узлов, равные суммам проводимостей всех ветвей, сходящихся в данном узле, всегда положительны;

G12 = G21 = 1/R3;Gnm = Gmn– взаимные проводимости между смежными узлами (1 и 2, m и n), равные сумме проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы, всегда отрицательны;

ТОЭ (Лекция 5)

J11 = E1 /R3 – E3 /R3 – J1; J11 = E2 /R2 – E3 /R3 + J1 и т. д. – узловые токи

узлов, равные алгебраической сумме слагаемых E/R и J от всех ветвей, сходящихся в узле (знак ”+”, если источник действует к узлу, и знак “ ” , если источник действует от узла).

Система узловых уравнений в матричной форме:

Последовательность (алгоритм) расчета.

1)Принимают потенциал одного из узлов схемы равным нулю, а потенциалы остальных (n 1) узла считают неизвестными, подлежащими определению.

2)Руководствуясь обобщенной формой, составляют (n-1) уравнение для узлов с неизвестными потенциалами.

3)Определяются коэффициенты узловых уравнений и составляются их матрицы.

4)Система узловых уравнений решается на ЭВМ по стандартной программе для решения систем линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами, в результате чего определяются

неизвестные потенциалы узлов 1, 2, … 5) Выбираются положительные направления токов в ветвях исходной

схемы I1, I2 , I3, I4, I5. Токи ветвей определяются из потенциальных уравнений ветвей через потенциалы узлов 1, 2, ….

6) При необходимости определяются напряжения на отдельных элементах (Uk = IkRk), мощности источников энергии (PEk = EkIk, PJk = Uk Jk) и приемников энергии (Pk = Ik2 Rk).