лаб2_Лопатина_П-41

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

Национальный исследовательский университет “МИЭТ”

Институт Системной и программной инженерии и информационных технологий

Дисциплина: Методы оптимизации

Отчёт по лабораторной работе №2

Вариант 6

Выполнил:

Студент П-41

Лопатина Татьяна

Москва, 2021

Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции

Постановка задачи. Требуется найти безусловный минимум функции одной переменной f(x), то есть такую точку x* ∈ U, что f(x*) = min f (x). Значение точки минимума вычислить приближенно с заданной точностью ε.

f ‘(x) = 0; точку x∈ U₀ = [a;b] (1)

Функция

Функция. Нахождение производной

Метод средней точки

Теория

Если определение производной f ’(x) в (1) не представляет затруднений, то в процедуре исключения отрезков методом дихотомии вычисление двух значений f(x) вблизи середины очередного отрезка можно заменить вычислением одного значения f ‘(x) в его средней точке x_ = (a+b)/2 . Сравнивая f ‘(x_) с нулем, делим отрезок поиска точки x* ровно вдвое, причем на каждой итерации вычисляется только одно значение f ‘(x).

Алгоритм

Скрипт

Результат работы программы

Метод хорд

Теория

Пусть на концах отрезка [a;b] производная f ‘(x) имеет разные знаки, т.е.

f ‘(a)*f ‘(b) < 0. Тогда на интервале (a;b) найдется точка, в которой f ‘(x) обращается в нуль. В этом случае поиск точки минимума f (x) на отрезке [a;b] эквивалентен решению уравнения f ‘(x) = 0 на интервале (a;b).

Сущность метода хорд приближенного решения уравнения f ‘(x) = 0 на отрезке [a;b] при f ‘(a)*f ‘(b) < 0 состоит в исключении отрезков путем определения точки x~ - точки пересечения с осью Ox хорды графика функции f ‘(x) на [a;b].

Координата точки x~ равна: x~ = a – (f ‘(x) / (f ‘(a) – f ‘(b))) * (a – b) (2)

Отрезок дальнейшего поиска точки x* (отрезок [a;x~] или [x~;b] ) выбирается в зависимости от знака f ‘(x~) так же, как в методе средней точки. На каждой итерации, кроме первой, необходимо вычислять только одно новое значение f ‘(x).

Алгоритм

Скрипт

Результат работы программы

Метод Ньютона

Теория

Для приближенного решения уравнения (1) используется метод касательных. Пусть x ∈ [a;b] – нулевое, или начальное приближение к искомой точке x*. Линеаризуем функцию f(x) = f ‘(x) в окрестности начальной точки, приближенно заменив дугу графика этой функции касательной в точке (x0, f ‘(x0)) :

F(x) ≈ F(x0)+ F ‘(x0)*(x – x0) (3)

Выберем в качестве следующего приближения к x* точку x1 пересечения касательной с осью абсцисс. Приравнивая к нулю правую часть в (3), получим

первый элемент x₁= x₀–F(x₀)/ F ‘(x₀) итерационной последовательности {x_k}, k = 1, 2, … .

В очередной точке x_k строится линейная аппроксимация функции F(x) и точка,

в которой эта аппроксимирующая функция обращается в нуль, используется в

качестве следующего приближения x_k+1.

Уравнение касательной к графику F(x) в точке x = x_k имеет вид

y = F(x_k) + F ‘(x_k)*(x – x_k), поэтому точка x = x_k+1, найденная из условия y = 0 ,

определяется формулой x_k+1 = x_k – F(x_k)/ F ‘(x_k).

Вычисления по формуле x_k+1 = x_k – f ‘(x_k)/ f ‘‘(x_k) производятся до тех пор, пока не выполнится неравенство |f ‘(x_k)| ≤ ε , после чего полагают x* ≈ x_k , f* ≈ f (x_k)/

Скрипт

Результат работы программы

Сравнительная таблица различных методов

Метод	х*	f*	Количество итераций	Количество вычислений целевой функции
Метод средней точки	1.2599	1.8899	14	14
Метод хорд	1.2599	1.8899	14	14
Метод Ньютона	1.2599	1.8899	5	5

Вывод: В ходе лабораторной работы были изучены методы минимизации функции одной переменной и были приобретены навыки программирования методов минимизации функции. Исходя из результатов сравнения, можно сделать вывод, что значения х очень близки по значению при вычислениях каждым методом. Также можно увидеть, что наиболее эффективным является метод Ньютона, метод средней точки и метод хорд обладают меньшей эффективностью, так как количество их итераций равно между собой и больше количества итераций, чем в методе Ньютона.