лаб1_Лопатина_П-41

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

Национальный исследовательский университет “МИЭТ”

Институт Системной и программной инженерии и информационных технологий

Дисциплина: Методы оптимизации

Отчёт по лабораторной работе №1

Вариант 6

Выполнил:

Студент П-41

Лопатина Татьяна

Москва, 2021

Прямые методы минимизации функции одной переменной

Постановка задачи. Требуется найти безусловный минимум функции одной переменной f(x), то есть такую точку x* ∈ U, что f(x*) =min f(x). Значение точки минимума вычислить приближенно с заданной точностью ε.

Метод перебора

Теория

Задается количество интервалов N, на которое разбивается исходный интервал U0=[a,b]. Вычисления значений функции производятся в N+1 равноотстоящих друг от друга точках. Путем сравнения величин f (xi) , i = 0,1, ..., N, находится точка xm , в которой значение функции наименьшее. Искомая точка минимума заключена в [x_m-1,x _m+1] .

Алгоритм

Скрипт

Результат работы программы и график

Метод поразрядного поиска

Теория

Метод является усовершенствованным вариантом метода перебора. В этом методе перебор точек интервала неопределенности U0 происходит сначала с шагом x _i+1 - x _i > ε , i = 0,1,... (при этом точка x0 = концу отрезка a) до тех пор, пока не выполнится условие f(x_i) ≤ f(x _i+1), или пока очередная из точек x_i не совпадет с концом отрезка b. После этого шаг уменьшается в 4 раза, и производится перебор точек в противоположном направлении до тех пор, пока значения функции не перестанут уменьшаться, или очередная точка не совпадет с концом отрезка a. Процедура уменьшения шага и смены направления перебора на противоположное повторяется несколько раз. Поиск прекращается, если текущий шаг дискретизации при последнем проходе алгоритма не превосходит заданной точности ε.

Алгоритм

Скрипт

Результат работы программы и график

Метод дихотомии

Теория

Алгоритм опирается на анализ значений функции в двух точках. Для их нахождения текущий интервал неопределенности делится пополам и в обе стороны от середины откладывается по δ/2 , где δ < ε2 – малое положительное число. По результатам сравнения значений функции в этих точках из дальнейшего рассмотрения исключается часть текущего интервала неопределенности. Условия окончания итераций для всех вариантов метода исключения отрезков стандартные: поиск заканчивается, когда половина длины текущего интервала неопределенности оказывается меньше установленной величины точности ε.

Алгоритм

Скрипт

Результат работы программы и график

Метод золотого сечения

Теория

Алгоритм опирается на анализ значений функции в двух точках, являющихся точками золотого сечения текущего интервала неопределенности. Исключение отрезка в данном случае выполняется так же, как и в методе дихотомии. При этом с учетом свойств золотого сечения на каждой итерации, кроме первой, требуется вычислить только одно новое значение функции

Алгоритм

Скрипт

Результат работы программы и график

Сравнительная таблица различных методов

Метод	х*	f*	Количество итераций	Количество вычислений целевой функции
Метод передбора	1.2599	1.8899	10001	10001
Метод поразрядного поиска	1.2615	1.8899	6	6
Метод дихотомии	1.2600	1.8899	13	14
Метод золотого сечения	1.2599	1.8899	18	20

Вывод: В ходе лабораторной работы были изучены методы минимизации функции одной переменной и были приобретены навыки программирования методов минимизации функции. Исходя из результатов сравнения, можно сделать вывод, что значения х очень близки по значению при вычислениях каждым методом. Также можно увидеть, что наименее эффективным является метод перебора, так как обладает самым большим количеством итераций, а наиболее эффективным является метод метод поразрядного поиска.