§ 5.4 Метод Холецкого.

Пусть матрица системы Ax=b симметрична и положительно определена, то есть

и скалярное произведение . Тогда можно использовать более

Компактный вид LU- разложения: , где L- нижняя треугольная матрица, а - транспонированная. Запишем следующее матричное равенство: и найдем элементы матрицы L напрямую.

Перемножая матрицы, получим следующую систему уравнений:

….

i=2..m

Затем переходят ко 2-ой строке, к 3-ей и т.д.

Можно вывести общий вид формул:

k=2,…m

i=k+1,…m

Число арифметических действий в методе Холецкого , в два раза меньше, чем в методе Гаусса.

Пример на метод Холецкого.

1-ая строка:

2-ая строка:

Равенство было получено выше в силу симметрии!

3-ья строка:

Таким образом, получили разложение:

Далее, как и в методе LU- разложения решаем две системы уравнений:

ОТВЕТ: