Все за 2й курс / Лекция 12

Лекция 12 . Применения метода конечных разностей для решения

нестационарных задач математической физики.

Литература к лекции. [1] Казенкин К.O., Амосова О.А.. Численное решение задач математической физики. Нестационарные уравнения .М: Изд-во МЭИ, 2016.

§ 12.1 Семейство разностных схем с весами.

Продолжим рассматривать построение разностных схем для первой краевой задачи с постоянными коэффициентами для уравнения теплопроводности.

(12.1)

Рассмотренные выше схемы (явная и неявная ) имели порядок аппроксимации .

Кажется вполне логичным, заменить производную по t центральной разностной производной и тем самым получить 2-ой порядок аппроксимации по : .

(12.2)

Оказывается, что эта схема непригодна, так как она является абсолютно неустойчивой.

Если исследовать схему на устойчивость методом гармоник, то получим следующее характеристическое уравнение:

Корни этого уравнения равны:

Один из корней всегда по модулю больше 1.

Обычно поступают иначе.

Применяют семейство схем с весами.

(12.3)

Где - параметр.

При имеем явную схему,

имеем чисто неявную схему,

имеем симметричную схему,

имеем схему повышенного порядка аппроксимации ,

.

Известно, что все схемы с абсолютно устойчивы. Схема повышенного порядка аппроксимации также является абсолютно устойчивой РС. При РС являются неявными схемами. Для нахождения решения на каждом временном слое требуется решать систему уравнений . Обычно мы решаем методом прогонки.

Заметим, что при этом используется “шеститочечный шаблон”.

§ 12.2 Двумерная задача теплопроводности.

Рассмотрим задачу о нагревании прямоугольной пластины.

, , (12.4)

,

Здесь прямоугольник, - граница прямоугольника.

Введем разностные операторы:

Тогда разностная схема примет вид:

(12.5)

Формулы (12.5) определяют явную разностную схему. Решение во всех внутренних точках находится по формулам:

Недостатком этой схемы является условная устойчивость: схема устойчива при соотношении шагов: . Пусть h=0.01. Тогда . Чтобы получить решение в t=T=1 нужно сделать 40000 шагов по времени. Это неприемлемое число арифметических действий.

Неявная разностная схема – абсолютно устойчивая.

12.6)

На каждом временном слое нужно решать систему уравнений, содержащую неизвестных.

Начиная с 50-х годов 20 века стали развиваться методы, основанные на сведении многомерной задачи к последовательности одномерных задач. Эти методы сочетают в себе положительные стороны явной и неявной схемы: абсолютную устойчивость и простоту решения. Рассмотрим так называемый метод переменных направлений. В этом методе переход от слоя m к слою m+1 осуществляется в два этапа: вводится дополнительный слой и уравнение разбивается на два:

(12.7)

На втором этапе , пользуясь найденными значениями находим из системы уравнений:

(12.8)

Уравнение (12.7) является неявным по первой переменной, а второе уравнение – по переменной .

Рассмотрим подробно первое уравнение системы:

Приведем уравнение к стандартному виду:

, где

При каждом фиксированном j=1,2,..N1 методом прогонки по i решаем СЛАУ . После того как найдены значения решаем следующие уравнения:

Также методом прогонки.

Приведем для сравнения число арифметических действий, требуемых для решения сеточных уравнений. Здесь N1=N2=N.

	Явная схема	Неявная схема	Метод переменных направлений

§ 12.3. Применение метода конечных разностей для уравнения колебаний струны.

Рассмотрим еще один пример – начально-краевая задача для уравнения колебаний струны.

.

Методом разделения переменных можно найти аналитическое решение задачи.

Оно имеет вид:

.

Перейдем к построению разностной схемы: возьмем , , обозначим .

Тогда разностная схема примет следующий вид:

k=1,..n-1

k=1,..n-1

, k=1,..n-1

Результаты вычислений на нескольких временных слоях приведены в следующей таблице

( для удобства в таблицу внесены значения не во всех точках полученного массива):

	0	1.5388	1.5388	1	0.3633	-0.3633	0
	0	0.4143	0.6716	0.7070	0.6732	0.4168	0
	0	-0.9512	-0.5879	-0.0002	0.5876	0.9510	0
	0	-0.4144	-0.6718	-0.7072	-0.6734	-0.4169	0

Сравним с аналитическим решением в тех же точках:

	0	1.5388	1.5388	1	0.3633	-0.3633	0
	0	0.4156	0.6725	0.7071	0.6725	0.4156	0
	0	-0.9510	-0.5878	0	0.5878	0.9511	0
	0	-0.4156	-0.7071	-0.7071	-0.6725	-0.4156	0

Ниже приведены профили струны в тех же точках по времени, что и в таблице. Так как решения различаются мало, то графики построены по массиву точного решения.