Все за 2й курс / Лекция 10

Лекция 10 . Численное решение начально-краевой задачи

для уравнения теплопроводности.

Литература к лекции. Казенкин К.O., Амосова О.А.. Численное решение задач математической физики. Нестационарные уравнения .М: Изд-во МЭИ, 2016.

§ 10.1 Постановка задачи

Будем рассматривать первую краевую задачу с постоянными коэффициентами для уравнения теплопроводности.

(10.1)

Задача (10.1) описывает процесс распространения тепла в стержне длины L. Функция

u(x,t) имеет смысл температуры стержня в точке x в момент времени t, - начальная температура стержня в момент , , - граничные функции, задающие значения температуры в левой точке и в правой точке соответственно. Функция называется функцией плотности внешних источников.

Напомним, как решается данная задача аналитически в самых простых случаях.

Для начала возьмем однородные краевые условия и правую часть . Будем искать решение методом Фурье, то есть представим решение в виде произведения двух функций: , одна из которых зависит только от x, а другая от t. Тогда, подставив предполагаемый вид решения в уравнение наше решение , получим:

Поделим обе части этого уравнения на получим

Видим, что в данном равенстве левая часть зависит только от t, а правая только от x. Функции разных переменных могут быть равны между собой только тогда, когда они равны константе.

Получим два уравнения:

Рассмотрим первое уравнение

Нам необходимо найти нетривиальные решения, которые будут удовлетворять граничным условиям: и . Для этого запишем и решим задачу Штурма-Лиувилля:

Характеристическое уравнение исходного дифференциального уравнения:

имеет мнимые корни

Следовательно, общее решение исходного дифференциального уравнения:

• 

• 

• 

Для

отсюда следует, что отсюда →

Получаем бесконечное множество собственных чисел:

соответствует бесконечное множество собственных функций:

Для и для решений нет.

Получим, что только для значений параметра , равных

существуют нетривиальные решения уравнения , равные

Этим значения соответствуют решения уравнения → , где С_k – неопределенные пока коэффициенты.

Таким образом,

В самом простом случае, например, когда граничные функции и равны нулю и нет внешних источников тепла, то есть , аналитическое решение задачи может быть найдено методом разделения переменных и представляет собой ряд Фурье:

, (10.2) где - коэффициенты ряда Фурье. Функции являются собственными функциями первой краевой задачи. Еще их называют гармониками ряда Фурье.

Заметим, что если функция является p-ой гармоникой ряда (10.2), то в силу ортогональности системы синусов коэффициенты

Тогда решение задачи будет представляться не бесконечным рядом, а функцией вида:

. Это свойство будет использовано при построении тестовых примеров. Физический смысл такого решения означает, что в отсутствии источников тепла и при постоянной нулевой температуре в концах отрезка и значение температуры в стержне будет стремиться к нулю .

Пример 10.1 Найти аналитическое решение задачи:

Решение. Уравнение теплопроводности является однородным, граничные условия первого рода заданы нулевыми граничными функциями, начальная температура представляет собой 2-ую гармонику ряда Фурье, умноженную на константу 10. Длина стержня L=1. Следовательно, решение задачи имеет вид: . Построим профили температуры – графики решения функции в фиксированные моменты времени. Возьмем :

,

,

Видно, что при t=1 первоначальная температура стержня стала практически нулевой. Нулевая температура границ стержня охладила и весь стержень до нуля.

§ 10.2 Сетки, сеточные функции и разностные операторы

Введем на отрезке [0,L] пространственную сетку состоящую из точек ,i=0..n где а на отрезке [0, T ] временну´ю сетку , состоящую из точек , j=0..m где τ = T/m. Будем также использовать множество внутренних узлов . Внутренними узлами временн´ой сетки будем называть

множество точек .

Множество точек называется пространственно-временн´ой сеткой (на рис. 1.1 обозначены кружками). Введем также множество внутренних точек , которое в дальнейшем будет играть очень важную роль. На рис. 12.1 представлена пространственно-временная сетка.

t T

Рис 10.1

Будем называть временным слоем множество всех узлов сетки, имеющих одну и ту же временную координату. Так, j-м слоем будем называть точки:

, , , …

Для функции, являющейся приближенным значением к точному решению задачи - функции u(x,t), введем обозначение: .Таким образом, приближенное решение задачи будет представлять собой матрицу приближенных значений, заданных

на множестве .

Для построения разностной схемы будем использовать метод конечных разностей.

Суть метода в том, что все разностные производные будем заменять разностными аналогами. Заменим производную по t правой разностной производной, а вторую производную по х известным нам уже равенством :

,

Отметим, что производная по t аппроксимирована с первым порядком точности по τ , а вторая производная аппроксимирована со вторым порядком точности по h. Следовательно, построенная схема будет иметь первый порядок аппроксимации по t и второй по h. При этом мы использовали следующий трехточечный шаблон:

Запишем разностное уравнение, аппроксимирующее исходное дифференциальное уравнение: , i=1…n-1, j=0…m-1

Здесь . Индексы i и j взяты таким образом, чтобы разностное уравнение

было определено во всех внутренних узлах сетки. Дополним разностные уравнения значениями на нулевом слое (начальная температура) , i=0…n и в граничных точках (граничные условия): в левой точке , j=0…m и в правой точке , j=0…m. Окончательно получили систему равенств для нахождения приближенного решения задачи (12.1): (10. 3)

Система (10.3 ) называется явной разностной схемой для уравнения теплопроводности. Нахождение решения разностной схемы происходит по слоям: сначала задается решение на нулевом слое, затем задается решение в граничных точках справа и слева, и после этого приступаем к нахождению решения во внутренних точках.

Рассмотрим пример построения разностной схемы и нахождение приближенного решения следующей задачи :

Зафиксируем значения , выберем шаги по пространству и по времени: , . Правильный выбор параметров сетки обсудим в следующей лекции. Тогда отрезок будет разбит на 4 части точками: , .

Прежде чем начать расчет по формулам вычисления приближенного решения подготовим таблицу, соответствующую пространственно-временной сетке и заполним ее известными значениями начальной температуры на нулевом слое и в граничных точках:

,

	0	2.8284	4	2.8284	0
	0				0.125
	0				0.25
	0				0.375
		…..	……..
	0				1.25

Преобразуем разностное уравнение так: выразим неизвестное значение на слое j+1

через предыдущие значения:

Для упрощения расчетов введем параметр и соберем слагаемые с одинаковыми индексами. Тогда формула для расчетов примет такой вид:

,

При выбранных значениях шагов по пространству и по времени параметр , а коэффициент . Начнем расчет первого слоя по времени с точки : Считаем температуру в точке :

Последняя внутренняя точка первого слоя

Таким образом, 1-ый слой по времени найден, и аналогично можно заполнить вторую строку таблицы. Для нахождения 2-го временного слоя действуем аналогично. Продвигаясь снизу вверх и слева направо, можно вычислить значения температуры стержня при любом значении T. ( В таблице представлены числа с 4 знаками после запятой)

	0	2.8284	4	2.8284	0
	0	2.03125	2.8909	2.09375	0.125
	0	1.4767	2.125	1.6017	0.25
	0	1.0938	1.6017	1.2813	0.375
	…	….	…	…
	0	0.4009	0.75	1.0259	1.25

В предпоследней строке таблицы приведены значения температуры на 10 временном слое.

Графики приближенного решения задачи (профили температуры) приведены ниже.

На графиках через обозначены профили температуры на j-слое по времени.

Для сравнения поработаем с аналитическим решением. Легко проверить, что функция является аналитическим решением задачи.

Заполним таблицу со значениями аналитического решения по слоям:

	0	2.8284	4	2.8284	0
	0	2.1090	3.000	2.1715	0.125
	0	1.5888	2.2835	1.7138	0.25
	0	1.2150	1.7732	1.4025	0.375
	….	….	….	…..
	0	0.4419	0.8080	1.0669	1.25

Сравнивая полученные решения, имеем: приближенное решение:

Аналитическое решение:

Оба решения найдены по программе. Оценим норму вектора погрешности на 10-м слое по времени: ,

Тогда

Явная разностная схема имеет существенный недостаток: она является условно-устойчивой, то есть она сходится при определенном соотношении шагов и h, а именно, . Это означает, что вычисления должны идти с очень мелким шагом по времени. В следующей лекции будет рассмотрена абсолютно устойчивая схема, которая свободна от этого недостатка.