Комплексная форма ряда Фурье
Применяя формулы
,
,
можно представить ряд Фурье в комплексной форме
где
,
п =
0, ±1,
±2,
±3,
...
Слагаемые
ряда Фурье представляют собой гармоники
с амплитудами
и фазами
.
Частоты колебаний wn
образуют бесконечную арифметическую
прогрессию с разностью
.
Графически это отображается диаграммами
– амплитудным
и фазовым
спектрами. Взаимно однозначное
соответствие между заданной функцией
и ее спектрами позволяет получить два
возможных представления функции:
координатное f(x)
и спектральное – амплитудой An
и фазой jn.
Пример. Записать комплексный ряд Фурье для периодической функции, изображенной на рисунке 11.9. Изобразить амплитудный и фазовый спектры.
Рис. 11.9
;
,
;
Амплитудный спектр представлен на рисунке 10.
Рис. 10
Фазовый спектр представлен на рисунке 11.
Рис. 11
11.2 Контрольные тесты
№ |
Задание |
Ответ |
||
1 |
Если
формула n-го
члена числовой последовательности
имеет вид
|
|
||
2 |
Необходимый
признак сходимости числового ряда
1)
|
|
||
3 |
Установите соответствие между рядами и их названиями.
1)
2)
3)
|
|
||
4 |
Числовой ряд
1) расходится 2) сходится 3) сходится условно 4) сходится абсолютно |
|
||
5 |
Если
1) 1,5 2) 0,2 3) 0,5 4) –2 |
|
||
6 |
Если
1) –1,5 2) 0,9 3) 0,5 4) 1 |
|
||
7 |
Числовой
ряд
1) расходится 2) сходится 3) сходится условно 4) сходится абсолютно |
|
||
8 |
Если
ряд
сходится и
1)
ряд
2) ряд сходится 3) ряд сходится условно 4) требуется дополнительное исследование сходимости ряда |
|
||
9 |
Радиус
сходимости степенного ряда
1) (– 9; 9) 2) (0; 9) 3) (– 9; 0) 4) (– 4,5; 4,5) |
|
||
10 |
Для сходимости ряда Тейлора к функции f(x) на некотором интервале необходимо и достаточно, чтобы для всех x на этом интервале для остаточного члена формулы Тейлора выполнялось условие
1)
|
|
||
11 |
Область
сходимости ряда
1) [–1; 1] 2) (–1; 1) 3) (0; 1) 4) [0; 1] |
|
||
12 |
Ряд имеет область сходимости
1) (–1; 1) 2) [–1; 1] 3) (–1; ¥) 4) (–¥; ¥) |
|
||
13 |
Для функции f(x) периода Т = 2l не выполняются условия Дирихле, если f(x) на отрезке [–l; l]
1) непрерывна 2) имеет конечное число разрывов первого рода 3) имеет конечное число разрывов второго рода 4) монотонна |
|
||
14 |
График нечетной периодической функции изображен на рисунке
1)
3)
|
|
||
15 |
1)
3)
|
|
||
16 |
Ряд
Фурье для функции
1) 2) 3) 4) |
|
,
то х5 равно
записывается в виде
2)
3)
4)
A)
знакочередующийся
B)
степенной.
С)
с неотрицательными членами
,
то ряд сходится при q,
равном
= q,
то ряд сходится при q,
равном
,
то
расходится 
равен 9. Тогда интервал сходимости
имеет вид…
2)
3)
4)
равна
2)
4)
2)
4)
периода Т = 2p
имеет вид