Тема 15 Ряды Тейлора и Маклорена
Пусть функция f(x) имеет производные любого порядка в точке х = а и некоторой ее окрестности. Рядом Тейлора функции f(x) называется степенной ряд
Ряд Тейлора может быть и расходящимся и сходящимся, причем в последнем случае возможно как S(x) = f(x), так и S(x) ¹ f(x).
Теорема.
Для сходимости ряда Тейлора к функции
f(x)
на некотором интервале необходимо и
достаточно, чтобы для всех x
на этом интервале остаточный член
,
сÎ(х; а)
формулы Тейлора функции f(x)
стремился к нулю (
)
при неограниченном возрастании n.
При а = 0 ряд Тейлора принимает вид:
f(0)
+
х
+
х2
+…+
хn
+ …
и называется рядом Маклорена.
Пример. Определить область сходимости ряда Тейлора для функции f(x) = е х в точке х = а.
Ряд
Тейлора функции f(x) = е
х:
По признаку Даламбера ряда сходится при любых значениях х.
Пример.
Найти сумму ряда Маклорена
.
При
сумма бесконечно убывающей геометрической
прогрессии
с знаменателем q = x
и а1 = 1
равна
Пример. Разложить в ряд Маклорена функцию f(х) = sin х.
№ n |
f (n)(х) |
f (n)(0) |
|
0 |
f(х) = sinх |
|
0 |
1 |
f ¢(х) = cosх |
|
1/1! |
2 |
f ²(х) = –sinх |
|
0 |
3 |
f ¢²(х) = –cosх |
|
–1/3! |
4 |
f IV(х) = sinх |
|
0 |
Остаточный
член формулы Тейлора
:
при
любом значении х.
Ряд сходится к sin
x
при всех хÎR.
sin
x
= х
–
На рисунке 3 изображены графики у = sin x и частичных сумм ряда Маклорена
Рис. 3
Ряды Маклорена основных функций
,
область сходимости (–¥;
¥);
,
область сходимости (–¥;
¥);
,
область сходимости (–¥;
¥);
,
биномиальный ряд с областью сходимости
(–1; 1);
,
область сходимости (–1;
1];
,
область сходимости [–1;
1].
Пример.
Доказать, что
.
Область сходимости (–1; 1).
Пример.
Доказать, что arctgх = 
.
Интегрирование равномерно сходящегося ряда:
.
Область сходимости хÎ[–1; 1].
Пример.
Разложить в ряд Тейлора по степеням
(x – 2)
функцию
.
Область
сходимости хÎ(0;
4).
Применение степенных рядов в приближенных вычислениях
Приближенные вычисления с помощью степенных рядов осуществляются представлением функций их разложениями в сходящиеся степенные ряды, заменой сумм S(x) рядов их частичными суммами Sп(x) и оценкой погрешности получаемых приближенных равенств.
Пример. Вычислить sin1 с точностью до 0,001.
Ряд Маклорена: .
Ряд
Маклорена при х
= 1:
.
Знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница.
Погрешность
вычисления
:
.
Сумма
ряда:
Пример. Вычислить число е с точностью до 0,001.
Ряд
Маклорена:
Ряд
Маклорена при х
=1:
Положительный
ряд
сходится по признаку Даламбера.
Остаточный член формулы Тейлора:
,
где сÎ(0;
1).
Погрешность
вычисления:
,
Сумма
ряда:
Пример.
Вычислить предел
.
Ряд
Маклорена:
Ряд
Маклорена:
Пример.
Вычислить интеграл
с точностью до 0,001.
Ряд
Маклорена:
Тема 16 Тригонометрические ряды Фурье
Условия Дирихле: функция f(x) периода Т = 2l непрерывна (либо имеет конечное число разрывов первого рода) и монотонна (либо имеет конечное число экстремумов) на периоде.
Тригонометрический ряд
,
где
числовые коэффициенты
и
вычисляются по формулам:
называется рядом Фурье функции f(x).
Теорема.
Если функция f(х)
удовлетворяет условиям Дирихле, то
сумма ряда Фурье S(x)
равна f(x)
в точках
непрерывности и среднему арифметическому
односторонних пределов
в точках разрыва xр.
Рис. 4
Cумма
может быть представлена в виде гармоники
Аnsin(wnx + jn),
т. е. синусоидального колебания с
амплитудой
,
фазой
,
частотой
,
круговой (угловой) частотой
,
периодом
(рис. 4).
Для четных функций: коэффициенты bn ряда Фурье равны нулю и разложение f(х) содержит только косинусы (разложение по косинусам):
f(х) = 
,
.
Для нечетных функций: коэффициенты аn ряда Фурье равны нулю и разложение содержит только синусы (разложение по синусам):
f(х)
=
,
.
Рис. 5 |
Рис. 6 |
Если
функция f(х)
задана на отрезке [0; l],
то дополняя ее на отрезке [–l; 0]
четным (рис. 5) или нечетным образом (рис.
6), возможно представление функции f(х)
рядом Фурье, содержащим только косинусы
или только синусы
.
Суммы этих рядов есть периодические
функции, определенные на всей числовой
оси и совпадающие на (0; l)
с функцией
f(х)
в точках непрерывности.
Пример. Записать разложение в ряд Фурье чётной функции f(х), заданной на отрезке [–2; 2].
Ряд
Фурье для чётной функции:
,
где
.
Пример. Функцию
(рис. 7) периода
разложить
в ряд Фурье.
Рис. 7
Ряд Фурье:
.
Функция f(x) периодична, постоянна, и имеет разрывы только первого рода. Сумма ряда Фурье в точках разрыва функции f(x) равна 0,5, а в точках непрерывности S(x) = f(x).
Пример. Записать ряд Фурье для периодической функции, график которой представлен на рисунке 8.
Функция f(х): чётная, l = p, f(х) = p – х на отрезке [0; π].
Рис. 8
а0
=
=
=
=
p.
аn
=
=
=
