ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего образования

“петербургский государственный

университет путей сообщения ИМПЕРАТОРА АЛЕКСАНДРА I”

Кафедра «Высшая математика»

М.А. Шварц

Конспект лекций

по дисциплине

«МАТЕМАТИКА» (Б1.О.7)

для специальности

23.05.05 «Системы обеспечения движения поездов»

по специализациям:

«Автоматика и телемеханика на железнодорожном транспорте»

«Телекоммуникационные системы и сети железнодорожного

транспорта»

«Электроснабжение железных дорог»

Форма обучения – очная, заочная

«Радиотехнические системы на железнодорожном транспорте»

Форма обучения – очная

Раздел 8. Дифференциальные уравнения Санкт-Петербург 2020 Тема 1

1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальным называется уравнение, связывающее аргумент, искомую функцию и ее производную (или дифференциал). Дифференциальное уравнение (д.у.) называется обыкновенным, если искомая функция у = (х) есть функция одной переменной. Три формы записи дифференциального уравнения первого порядка:

явная (относительно производной) у¢ = f(х; у);

неявная F(х; у; у¢) = 0;

в дифференциалах Р(х; у)dx + Q(х; y)dу = 0.

Решение д.у. – это дифференцируемая функция у = (х), подстановка которой в уравнение обращает его в тождество. Нахождение решения д.у., удовлетворяющего начальному условию у(х₀) = у₀, представляет собой задачу Коши (х₀, у₀ – заданные числа). Обычно существует бесконечное множество решений дифференциального уравнения, которые удается объединить единой формулой у = (х; С), включающей произвольную постоянную С. Общим решением дифференциального уравнения называется семейство функций (х; С), такое что

1) функции (х; С) являются решениями д.у. при любых допустимых значениях произвольных постоянных С;

2) для любого допустимого начального условия у(х₀) = у₀ существует единственное значение С₀, при котором (х₀; С₀) = у₀.

Частное решение – это функция, полученная из общего решения, заданием конкретного значения произвольной постоянной С. График частного решения называется интегральной кривой. Решения д.у., представленные в неявном виде F(x; y; С) = 0 и F(x; y; С₀) = 0, называются соответственно общим и частным интегралами. Решение у = (х) считается особым, если в каждой его точке нарушается условие единственности, т.е. через каждую точку его интегральной кривой проходит график другого решения.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения y = 8x – 1 .

.

Пример. Доказать, что функция у = х² + 1 является решением задачи Коши дифференциального уравнения с начальным условием у(1) = 2.

Подстановка функции у = х² + 1 в уравнение: .

Проверка выполнения начального условия: 1² +1 = 2.

Функция у = х² + 1 является решением задачи Коши.

Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения y = 2x, удовлетворяющее начальному условию y(1) = 2.

.

При y = 2 и х = 1: 2 = 1² + C.

Значение произвольной постоянной: C = 1.

Решение задачи Коши: y = x² + 1.

Метод Эйлера приближенного решения задачи Коши

Метод Эйлера нахождения частного решения д.у. на отрезке [a; b] при начальных условиях состоит в построении линии, состоящей из отрезков, – ломаной Эйлера L_n, приближенно представляющей искомую интегральную кривую .

Отрезок [a; b] разбивается на п элементарных отрезков , , длины , а = х₀, b = х_n (рис. 12.1). Идея приближенного решения дифференциального уравнения заключается в замене дифференциалов dy конечными приращениями на каждом элементарном участке. Решение на отрезке приближённо заменяется отрезком касательной к интегральной кривой в точке : или . С учетом равенства определяется приближенное значение решения в точке : .

Повторение операции для задает ломаную Эйлера L_n (рис. 12.1). Метод Эйлера – сходящийся: при всех х [a; b].

Рис. 12.1