Тема 7 Приближенные вычисления в схеме Бернулли

Вычисления по формулам Бернулли для больших значений m, n становятся громоздкими. Поэтому при npq > 9 применяются приближенные формулы.

Локальная формула Лапласа:

,

где .

Интегральная формула Лапласа:

,

где .

Функции (х) и Ф₀(х) называются функцией Гаусса и функцией Лапласа. Для х  0 таблицы значений функций (х), Ф₀(х) представлены в приложениях А, В. При х > 4 можно принять (х)  0 и Ф₀(х)  0,5. Справедливы равенства: (–х) = (х) и Ф₀(–х) = –Ф₀(х).

Интегральная формула Лапласа позволяет оценить вероятность отклонения частоты события от вероятности этого события :

.

При большом числе опытов n с малыми вероятностями р и  = np < 10 применяется приближенная формула Пуассона

.

Пример. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Принята для реализации партия из 300 изделий. Найти наивероятнейшее число стандартных деталей и его вероятность.

Параметры схемы Бернулли: р = 0,9; q = 0,1; n = 300.

Наивероятнейшее число стандартных деталей:

.

Приложение А: 0,3989.

Пример. Контролер за смену проверяет 400 деталей. Вероятность того, что деталь бракованная, равна 0,1. Найти вероятность того, что бракованных окажется не менее 30 и не более 50 деталей.

Параметры схемы Бернулли: ; ;

Приближенная формула при :

;

; .

Приложение В: . Это число расположено в шестнадцатой строке и третьем столбце таблицы.

= .

Пример. Контролер за смену проверяет 400 деталей. Вероятность того, что деталь бракованная, равна 0,1. Найти вероятность того, что будет забраковано не менее 30 деталей.

Задача почти не отличается от предыдущей, но формулу Лапласа следует записать в другом виде:

.

Пример. Со склада в магазин отправлено 1000 изделий. Вероятность того, что изделие повреждается в пути, равна 0,002. Найти вероятности событий

1) повреждено в пути два изделия;

2) повреждено менее двух изделий;

3) повреждено не менее двух изделий.

Параметры формулы Пуассона: = 1000; = 0,002; .

1)

2)

3)

Контрольные вопросы

№	Задание	Ответ
1	Сумма вероятностей A и равна
2	При однократном бросании двух игральных кубиков события А {цифра 3 выпала на первом кубике} и В {цифра 6 выпала на втором кубике} являются (выберите несколько вариантов ответа): 1) совместными 2) независимыми 3) зависимыми 4) несовместными
3	Вероятность того, что наугад вынутая из полного набора домино одна кость окажется дублем равна
4	При однократном бросании кубика с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6 вероятность того, что на верхней грани окажется число больше двух, равна
5	Вероятность того, что случайно выбранная точка в квадрате со стороной 6 попадет в закрашенный треугольник, равна
6	Вероятности независимых событий: Р(A) = 0,6; Р(B) = 0,5; Р(C) = 0,4. Установите соответствие между комбинациями событий и их вероятностями: 1) A B A) 0,12 2) A C B) 0,24 C) 0,3 3) B C D) 1,4 4) A B C E) 0,2
7	Вероятность промаха при первом выстреле равна 0,5; при втором – 0,4; при третьем – 0,4; при четвертом – 0,2. Вероятность того, что мишень не будет поражена после четырех выстрелов равна
8	Несовместные события A, B и С не образуют полную группу, если их вероятности равны (выберите несколько вариантов ответа): 1) Р(А) = 8/15; Р(В) = 2/5; Р(С) = 4/15 2) Р(А) = 5/6; Р(В) = 1/12; Р(С) = 1/12 3) Р(А) = 1/5; Р(В) = 1/6; Р(С) = 1/7 4) Р(А) = 1/4; Р(В) = 1/8; Р(С) = 5/8
9	В первой урне 4 черных и 6 белых шаров. Во второй урне 3 белых и 7 черных шаров. Вероятность того, что извлеченный из наудачу взятой урны шар окажется белым, равна
10	В первой урне 4 черных и 6 белых шаров. Во второй урне 3 белых и 7 черных шаров. Из наудачу выбранной урны извлечен белый шар. Вероятность того, что шар взят из первой урны, равна