Тема 2 Формулы комбинаторики

Комбинаторика решает задачи о количестве различных наборов, которые можно составить из заданных элементов.

Пусть в исходном множестве содержится n различных элементов. Количество наборов, отличающихся лишь порядком следования n элементов друг за другом, называется числом перестановок и вычисляется по формуле

Произведение называется факториалом. Принято по определению, что 1! = 1 и 0! = 1.

Если из исходного множества n различных элементов выбирается с учетом порядка следования m элементов (m ≤ n), то число различных комбинаций выбора называется числом размещений из n элементов по m. Число размещений вычисляется по формуле

Количество различных комбинаций выбора называется числом сочетаний из n элементов по m, если из исходного множества выбирается m элементов (m ≤ n), причем порядок, в котором выбраны элементы, не имеет значения. Число различных сочетаний вычисляется по формуле

Очевидно, .

Правило произведения: пусть элементы А и В выбираются последовательно, причем А можно выбрать n способами, В – k способами, тогда пару А и В можно выбрать nk способами.

Правило сложения: пусть элемент А можно выбрать n способами, а другой элемент В – k способами, тогда один из элементов (либо А, либо В) можно выбрать n + k способами. Правила сложения и умножения обобщаются на любое конечное количество элементов.

Пример. Установить, сколько различных очередей можно составить из четырех человек?

В очереди учитывается порядок следования участников, следовательно, количество различных очередей равно числу перестановок из четырех элементов: .

Пример. Установить, сколько различных двухзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если цифры в числе не повторяются?

При составлении чисел учитывается порядок следования цифр, поэтому количество различных двухзначных чисел равно числу размещений из 5 по 2:

Пример. В коробке лежат мячи с номерами от 1 до 10. Наугад вынимают два мяча. Найти вероятность того, что это будут мячи с номерами 3 и 7?

Данный эксперимент состоит в выборе двух мячей из десяти, порядок появления номеров не учитывается. Число возможных исходов .

«Благоприятными» событиями являются исходы, в которых выбраны мячи с номерами 3 и 7. Такой исход только один. Следовательно, по классическому определению вероятности

Пример. Из 50 вопросов программы студент выучил 35 вопросов. Экзаменатор включил в каждый билет три разных вопроса. Найти вероятность Р(А) того, что студент выберет билет, в котором он не знает только один вопрос.

В каждом билете три разных вопроса, выбранных из 50, и их порядок неважен. Следовательно, билеты можно составить способами. Два вопроса из 35 выученных студент может получить способами. Один невыученный вопрос – способами. Согласно правилу произведения количество благоприятствующих данному событию исходов . Вероятность того, что студент выберет билет, в котором он не знает только один вопрос

Тема 3 Теоремы умножения и сложения вероятностей

Условной вероятностью события А относительно события В называется вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В произошло

.

События А и В называются независимыми, если и

Теорема умножения вероятностей: Р(АВ) = Р(А)Р(В/А);

для независимых событий: Р(АВ) = Р(А)Р(В).

Теорема сложения вероятностей: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А  В);

для независимых событий: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А)Р(В);

для несовместных событий: Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Если события А₁, А₂, А_n образуют полную группу событий, т.е. они единственно возможны и попарно несовместны, то Р(А₁ + А₂ +…+ А_n) = 1.

Пример. Установить, являются ли события А и В независимыми, если Р(А) = 0,5; Р(В) = 0,2; Р(АВ) = 0,1.

Р(А)Р(В) = Р(АВ). События А и В являются независимыми.

Пример. События А и В являются независимыми. Р(А) = 0,4; Р(АВ) = 0,1. Найти Р(В).

Р(В) = Р(АВ)/Р(А) = 0,1/0,4 = 0,25.

Пример. Два стрелка независимо друг от друга выполняют по одному выстрелу в мишень. Вероятности попадания первого и второго стрелков равны 0,4 и 0,7 соответственно. Найти вероятность попадания в мишень.

А = {попадание 1-м стрелком}, В = {попадание 2-м стрелком}.

АВ = {попадание двумя стрелками}.

Теорема умножения вероятностей для независимых событий: Р(АВ) = Р(А)Р(В).

Р(С) = {поражение мишени}.

Теорема сложения для независимых событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А)Р(В) = 0,4 + 0,7 – 0,4  0,7 = 0,82.

Можно вычислить эту вероятность иначе:

Пример. Выполняется два выстрела по мишени с вероятностями попадания 0,4 при первом выстреле и 0,7 при втором выстреле. Вероятность поражения центра мишени при попадании равна 0,6. Найти

1) вероятность попадания в мишень;

2) вероятность поражения центра мишени при первом выстреле;

3) вероятность поражения центра мишени при двух выстрелах;

4) вероятность поражения центра мишени только вторым выстрелом. Обозначим

А = {попадание при 1-м выстреле},

В = {попадание при 2-м выстреле},

С = {поражение центра мишени}. Тогда

A + B = {попадание в мишень},

AC = {поражение центра мишени при первом выстреле},

(AC) + (ВС) = {поражение центра мишени при двух выстрелах }.

  (ВС) = {поражение центра мишени только вторым выстрелом}.

1) Р(А + В) = 0,4 + 0,7 – 0,4  0,7 = 0,82 .

2) Р(А  С) = 0,4  0,6 = 0,24 .

3) Р(С) = Р((А  С) + (В  С)) = 0,24 + 0,42 – 0,24  0,42 = 0,56.

4) Р  (В  С)) = (1 – 0,24)  0,42 = 0,32.

Пример. Два студента выучили по 20 одинаковых вопросов из 30 вопросов программы. Билет содержит один вопрос. Использованные билеты из обращения изымаются. Установить, будет ли вероятность успешной сдачи экзамена студентом, взявшим билет первым, больше, чем у второго студента.

Вероятность успешной сдачи экзамена первого студента: . Для студента, идущего вторым, возможны два варианта.

1) Студент, идущий первым, сдал экзамен. Тогда вероятность успешной сдачи экзамена вторым студентом .

2) Студент, идущий первым, взял билет с невыученным вопросом. Тогда вероятность успешной сдачи экзамена вторым студентом .

По теореме сложения для несовместных событий

Вероятности успешной сдачи экзамена у студентов одинаковы и равны 2/3.

Пример. Доказать теорему сложения вероятностей для совместных событий: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А  В).

А и (В  ) – несовместные события;

А + В = А + (В  ),   Р(А + В) = Р(А) + Р(В  );

(В  А) и (В  ) – несовместные события;

В = (В  А) + (В  ), P(В) = P(В  А) + P(В  );

P(А + В) = P(А) + P(В  ) = P(А) + P(В) – P(В  А).