Graf

Петербургский государственный университет путей сообщения

Императора Александра I

Кафедра «Математика и моделирование»

Расчётно-графическая работа №1

«Построение кратчайших и максимальных путей в ориентированной сети»

Выполнил студент Баранов Д.А,

Факультет: АИТ

Группа: АР-709

Номер зачётной книжки: 01-709-02

Проверил: Боровских Ю.Б.

Санкт-Петербург

2018

Задание.

Изобразить в виде рисунков ориентированные сети , заданные весовой матрицей . Построить для сети кратчайший путь от узла до узла с помощью алгоритма Дейкстры и максимальный путь.

А)Поиск кратчайшего пути от узла до узла для сети G1.

Изображаем эту есть в виде графика.

Узлы в сети будут представлены в виде кружков, в которые будем вписывать получаемые в результате работы алгоритма метки.

Так как в заданной сети веса не отрицательны ‚то для нахождения кратчайшего пути от узла до узла воспользуемся алгоритмом Дейкстры (алгоритм расстановки меток), состоящим из двух этапов.

9

Этап 1. Нахождение кратчайшего пути.

Шаг 1. Присвоение начальных значений.

Полагаем для начального узла )=0* и считаем эту метку постоянной.

Для остальных узлов полагаем )= )= )= )= ) И считаем эти метки временными.t

Обозначаем текущий узел как u := S.

Результаты приведены на рисунке:

1-ая итерация

Шаг 2. Изменение меток

По строке матрицы W, для текущей вершины u=Х₁ находим смежные вершины (вершины, непосредственно следующие за вершиной u): Г₊ (u)={X₂, Х₄, X₅}.

Для найденных смежных меток определяем новую метку.

d_max(Х₂)=min{d_old(Х₂), d(u) + w(u, X₂)}=min{∞, 0 + 6}=6

d_max(X₄)=min{d_old(X₄), d(u) + w(u, X₄)}=min{∞, 0 + 9}=9

d_max(Х₅)=min{d_old(Х₅), d(u) + w(u, X₅)}=min{∞, 0 + 10}=10

Шаг 3. Превращение метки в постоянную.

Из всех вершин с временными метками выбираем вершину с наименьшим значением метки:

min{d(X₂), d(Х₄), d(X₅)}=min{6, ∞, 9, 10}==6*

Превращаем эту метку в постоянную d(X₂).

Шаг 4. Проверка на завершение этапа 1.

Найденная в предыдущем этапе вершина не совпала с конечной вершиной :Х₂≠t‚ то этап 1 не закончен и необходимо выполнить следующую итерацию с шага 2‚приняв u=X2.

Результат на рисунке:

2-ая итерация

Шаг 2. Изменение меток

По строке матрицы W, для текущей вершины u=Х₂ находим смежные вершины: Г₊ (u)={X3}.

Для найденных смежных меток определяем новую метку.

d_max(Х₃)=min{d_old(Х₃), d(u) + w(u, X₃)}=min{∞, 6 + 7}=13

Шаг 3. Превращение метки в постоянную.

Из всех вершин с временными метками выбираем вершину с наименьшим значением метки:

min{d(X3)}, min{13}==13*

Превращаем эту метку в постоянную d(X₃).

Шаг 4. Проверка на завершение этапа 1.

Найденная в предыдущем этапе вершина не совпала с конечной вершиной :Х₃≠t‚ то этап 1 не закончен и необходимо выполнить следующую итерацию с шага 2‚приняв u=X₃.

Результат на рисунке:

3-ая итерация

Шаг 2. Изменение меток

По строке матрицы W, для текущей вершины u=Х₃ находим смежные вершины: Г₊ (u)={X₄, Х₅, X₆}.

Для найденных смежных меток определяем новую метку.

d_max(Х₄)=min{d_old(Х₄), d(u) + w(u, X₄)}=min{∞, 0 + 2}=2

d_max(X₅)=min{d_old(X₅), d(u) + w(u, X₅)}=min{3, 2 + 4}=3

d_max(Х₆)=min{d_old(Х₆), d(u) + w(u, X₆)}=min{2, 3 + 6}=2

Шаг 3. Превращение метки в постоянную.

Из всех вершин с временными метками выбираем вершину с наименьшим значением метки:

min{d(X₄), d(Х₅), d(X₆)}=min{2, 3, 2}==2*

Превращаем эту метку в постоянную d(X₄).

Шаг 4. Проверка на завершение этапа 1.

Найденная в предыдущем этапе вершина совпала с конечной вершиной Х₄=t, то этап 1 закончен. Принимаем u=X6.

Длина кратчайшего пути от узла S в узел t равна 2.

Таким образом, получили: dХ₁=0‚ dХ₂=6‚ dХ₃=13‚ dХ₄=2‚ dХ₅=3‚ dХ₆=2.

Результат на рисунке:

Переходим к этапу 2.

Этап 2. Построение кратчайшего пути.

1-ая итерация

Шаг 5. Последовательный поиск дуг кратчайшего пути.

По строке матрицы W для текущей вершины u=Х₄ находим вершины непосредственно предшествующие вершине u: P(u)= {X₁, X₂, X₃}.

Из найденных вершин находим ту, для которой выполняется d(u) = d( ) + w( u):

Для X₁

d(X₁)+w(X₁, u)=0+10=10

Для Х2

d(X₂)+w(X₂, u)=6+7=13

Для Х3

d(X₃)+w(X₃, u)=0+2=2

Так как выполняется условие d(u)= d(X₃)+w(X₃, u)=2, то вершина X3 включается в искомый путь.

Шаг 6. Проверка на завершение этапа 2.

Найденная в предыдущем этапе вершина не совпала с начальной вершиной: Х3≠Х1, то этап 2 не закончен и необходимо выполнить следующую итерацию с шага 5‚прнняв u=X3.

2-ая итерация

Шаг 5. Последовательный поиск дуг кратчайшего пути.

По строке матрицы W для текущей вершины u=Х3 находим вершины непосредственно предшествующие вершине u: P(u)= {X2, X1}.

Из найденных вершин находим ту, для которой выполняется d(u) = d( ) + w( u):

Для X1

d(X1)+w(X1, u)=0+9=9

Для Х2

d(X2)+w(X2, u)=6+7=13

Так как выполняется условие d(u)= d(X1)+w(X1, u)=9, то вершина X1 включается в искомый путь.

Шаг 6. Проверка на завершение этапа 2.

Найденная в предыдущем этапе вершина совпала с начальной вершиной Х1, то этап 2 закончен.

Найден кратчайший путь. M={(Х1,Х3) - (Х3, Х6)}.

Длина кратчайшего пути d={X1, Х6}=20.

Результат приведён на рисунке: