Добавил:

nedir2908 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

ИПР 2 Т

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.11.2021

Размер:

763.48 Кб

Скачать

☆

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования

«Белорусский Государственный университет информатики и радиоэлектроники»

Индивидуальная практическая работа№2 по дисциплине

Теория вероятностей и математическая статистика

Выполнил:Назаров .Н Группа 910901

2021

Задача № 5 (33)

Дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений x1, x2, x3, x4, x5 с вероятностями p1, p2, p3, p4, p5 соответственно. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения.

x1	x2	x3	x4	x5	p1	p2	p3	p4	p5
-4	-3	-1	0	1	0.2	*	0.2	0.1	0.4

Решение.

Поскольку		pi		1, то 0,2 p2 0,2 0,1 0,4 1 p2 0,1
Математическое ожидание найдём по формуле:
M (x) xi					pi 4 0, 2 3 0,1 1 0, 2 0 0,1 1 0, 4 0,9
Дисперсию D(x) найдём по формуле:
D(x) M (x				2		)	(M (x))	2
D(x) M (x						)	(M (x))
			i				i
M (x	2	)		x		2	p 16 0, 2 9 0,1 1 0, 2 0 0,1 1 0, 4 4,7
M (x		)		x			p 16 0, 2 9 0,1 1 0, 2 0 0,1 1 0, 4 4,7
Таким образом,
							D(x) 4,7 0,9		2	3,89
							D(x) 4,7 0,9			3,89

Функция распределения дискретной случайной величины имеет вид:

F (x) P( X xk )
	x	x
	k
Если	x 4		, то	F (x) P( X xk ) 0
Если			, то		xk 4
					xk 4
								k
Если	4 x 3			, то	F (x)			P( X x ) P(x 3)		0, 2
Если				, то		x	3
						x	3
						k
Если								3 x 1	,
Если									,

F (x) P( X xk ) P(x 3) P(x 1) 0,2 0,1 0,3

		xk 1
Если	1 x 0			, то		F (x)		P( X xk ) 0,5
Если				, то				xk	0
								xk	0
									k
Если	0	x 1	, то		F (x)				P( X x )	0,6
Если			, то				x	1
							x	1
							k

Если x 1, то F (x) 1

Получим:

то

0		x 4
	0,2	4 x 3
	0,2	4 x 3

0,3		3 x 1
F (x)	0,5	-1 x 0
	0,5	-1 x 0

0,6		0 x 1
		x 1
1		x 1

Построим график функции распределения:

Задача № 6 (33)

Случайная величина Х задана плотностью вероятности

0,	x a, x b,
f (x)		a x b.
(x,c),

Определить константу С, математическое ожидание, дисперсию, функцию

распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал
, .

φ(x,c)	a	b

c sin(x)	0		0
				2

Решение.

Вначале вычислим значение константы с из условия нормировки. Условие нормировки представляет собой интегральное уравнение, из которого можно определить неизвестный параметр плотности вероятности. Для этого определим значение интеграла в левой части условия нормировки:



	f (x)dx csin xdx c cos x					0	c(cos cos 0) 2c
				0		0
				0
							.
Из условия нормировки следует:
2c 1 c					1
2c 1 c					2
					2
Плотность вероятности примет вид:
	0				x 0
f (x)
f (x)		1	sin x	0 x
			sin x	0 x
		2

Математическое ожидание найдём по формуле:

						1				x				dx
M (x) x f (x)dx						1				x	,	du		dx		,	sin xdx dv,
M (x) x f (x)dx							x sin xdx u				,	du				,	sin xdx dv,	v cos x
					0	2				2				2
					0
	x				dx						sin x
	x	cos x		cos x	dx				cos 0		sin x
	2	cos x	0	cos x	2			2	cos 0			2			2
	2			0	2			2				2	0		2
				0									0

Дисперсию найдём по формуле:

																																						5
																														x	2
																															2
																			1							2		u				,	du	xdx,				sin xdx dv,
D(x)				x	2	f (x)dx (M (x))									2				1	x	2	sin xdx						u		2		,	du	xdx,				sin xdx dv,
					2										2						2
																			2						4
																			2						4			v	cos x
																		0										v	cos x

		x	2														2					2													2
		x	cos x					x cos xdx														cos	0 x cos xdx
			cos x				0	x cos xdx							4							cos	0 x cos xdx											4
		2							0						4					2							0							4
									0																		0
u x,																		v sin x						2													2
				du dx,							cos xdx dv,														x sin x					sin dx
				du dx,							cos xdx dv,												2		x sin x				0	sin dx						4
																							2									0				4
																																0
		2								2			2				2
		2								2			2				2
	2		cos x				0		4			2		2		4		0,4649
							0

Найдём функцию распределения:

Так как плотность вероятности задана различными формулами на разных интервалах, то и ее первообразную - функцию распределения будем искать для каждого интервала в отдельности:

Для:

x 0

										0
									F (x) 0dt 0

	Для	0 x
	0				x	1				cost		x			1						1
F (x)		0dt					sin tdt					0				(cos x 1)						(1		cos x)
F (x)		0dt				2	sin tdt			2					2	(cos x 1)					2	(1		cos x)
					0	2				2					2						2
					0
	Для: x
				0				1			x					cost				1
	F (x) 0dt							1	sin tdt			0dt				cost				1	( 1 1) 1
	F (x) 0dt							2	sin tdt			0dt					0				( 1 1) 1
							0	2								2	0			2
							0
	Получим:
													0,					х 0
														cos x
													1	cos x			,		0 x
										F (x)						2	,		0 x
																2
													1, x

Вычислим вероятность
											1 cos( / 2)						1 cos(0)
P 0	x			F				F (0)															0,5
P 0	x			F				F (0)															0,5
			2				2						2						2

Задача № 7 (33)

Случайная величина Х распределена равномерно на интервале [a,b]. Построить график случайной величины Y= (X) и определить плотность вероятности g(y).


	a	b
x5	-2	2

Решение.
Построим график функции Y x		5
Построим график функции Y x		на промежутке [-2;2]:
		на промежутке [-2;2]:
		7.5
		5
		2.5

-4	-2	2	4
		-2.5
		-5
		-7.5

Так как X равномерно распределена на [-2;2], то её плотность вероятности равна:

	1	; a x b		1		2 x 2
					;
	a
f (x) b				4
		x a, x b				x 2, x 2
0;			0;

Плотность вероятности g(y) величины Y определяется по формуле:

	k
g( y) f ( j ( y)) j		( y)
	j 1
где	f ( j ( y)) - плотность вероятности Х,
j ( y) - функция, обратная Y,

к– число обратных функций для Y.

В зависимости от числа обратных функций выделим следующие интервалы:

; 32 32; к=0

32;32

к=1

( y)	5	y
	5

Таким образом, на[ g( y) f 5 y 5 y

Окончательно,

32;32]					имеем:
	1		1	y 4 / 5			1
	4	5
						20 5 y4
						20 5 y4
					0,	; 32 32;
							1
		g( y)					1		, y 32;32

							5 y	4
								4
					20

Соседние файлы в предмете Теория вероятностей и математическая статистика

#
27.11.2021322.65 Кб11ИПР 1Тpdf.pdf
#
27.11.2021763.48 Кб9ИПР 2 Т .pdf