
- •Практикум решения задач по дисциплине «Системный анализ»
- •Решение задач Линейного программирования графическим методом
- •1.1 Задача 1
- •Задача 2
- •Задача 3
- •Задача 4
- •Задача 5
- •Задача 6
- •Решение задач Линейного программирования симплекс-методом
- •2.1 Алгоритм 1 Симплекс преобразования на основе укороченных симплекс таблиц
- •2.2 Алгоритм 2 Симплекс преобразования на основе укороченных симплекс таблиц
- •2.3 Алгоритм 3 Симплекс преобразования на основе укороченных симплекс таблиц для решения двойственной задачи Линейного программирования
- •2.4 Задача 1
- •2.5 Задача 2
- •2.6 Задача 3
- •2.7 Задача 4
- •Решение матричных игр 2xnиmx2 графоаналитическим методом
- •3.1 Задача 1 ( решение игры 2 X n)
- •3.2 Задача 2 ( решение игрыmx 2)
- •3.3 Задача 3
2.1 Алгоритм 1 Симплекс преобразования на основе укороченных симплекс таблиц
Изначально имеем систему неравенств
и целевую функцию
,
для которой необходимо определить
максимум для заданной системы неравенств.
Переменные
-
Свободные Переменные (СП).
Чтобы свести неравенства к равенствам
к левой части неравенств
добавляют некоторую неотрицательную
величину
.
Переменные
-
Базисные Переменные (БП).
Тогда укороченная симплекс таблица примет вид:
CП БП |
|
… |
|
B |
|
|
… |
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
… |
|
|
Z |
|
… |
|
0 |
Замечание 1:
Для дальнейшего удобства обозначим
элемент в Zстроке иBстолбце.
Замечание 2:
Данный алгоритм применим, если
.
Выбирается разрешающий столбец lсоответствующий наименьшему отрицательному элементу вZстроке
Выбирается разрешающая строка k, которая соответствует наименьшему положительному из отношений элементов правой части уравнений на соответствующие элементы разрешающего столбца:
Замечание:
Если все отношения
,
значит, целевая функцияZнеограниченно возрастает и решения
нет. Необходимо прекратить симплекс
преобразование.
Элемент стоящий на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки называется разрешающим элементом:
Переходим к новой симплекс таблице
по следующим правилам:
Меняем местами СП и БП соответствующие разрешающему элементу.
На месте разрешающего элемента в новой таблице стоит величина ему обратная:
Все элементы разрешающей строки делятся на разрешающее число, включая элемент последнего столбца:
Все элементы разрешающего столбца делятся на разрешающее число, включая элемент последней строки, с обратным знаком:
Все остальные элементы матрицы
вычисляются по формулам:
Если все элементы в Zстроке
симплекс таблицы
неотрицательны, то достигнуто оптимальное решение, которое равно
.
Если в Zстроке
симплекс таблицы
найдется хотя бы один отрицательный элемент, то необходимо выполнить еще одно симплекс преобразование к симплекс таблице
, согласно п.1-6 приведенного выше алгоритма.
2.2 Алгоритм 2 Симплекс преобразования на основе укороченных симплекс таблиц
Рассмотрим
симплекс-метод для решения задачи
Линейного программирования в случае,
если существует
.
Изначально
имеем систему неравенств
и целевую функцию
,
для которой необходимо определить
максимум для заданной системы неравенств.
Переменные
-
Свободные Переменные (СП). Данную систему
неравенств необходимо привести к виду,
где
. А затем к приведенной системе применить
“Алгоритм 1 Симплекс преобразования
на основе укороченных симплекс таблиц”
Тогда укороченная симплекс таблица примет вид:
СП БП |
|
… |
|
B |
|
|
… |
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
… |
|
|
Z |
|
… |
|
0 |
Выбрать строку с наименьшим отрицательным свободным членом в B-столбце
Рассмотреть элементы s-ой строки.
Если
, следовательно, система несовместна, и задача Линейного программированияне имеет решений
Если
,то необходимо взятьлюбой
и столбец, содержащий данный элемент в качестве разрешающего столбца –
.
Выбирается разрешающая строка k, которая соответствует наименьшему положительному из отношений элементов правой части уравнений на соответствующие элементы разрешающего столбца:
Тогда элемент, стоящий на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки называется разрешающим элементом
.
Замечание:В случае, когда,
то элемент
выбирается в качестве разрешающего
только в том случае, если
иначе
произойдет зацикливание. Если же
,
и в строкеsкроме элемента
есть еще элемент
и при этом
,
то в качестве разрешающего столбца
лучше брать столбецr. И
тогдаk-я строка уже не
будет разрешающей.
Далее выполняем все п.4 “Алгоритм 1 Симплекс преобразования на основе укороченных симплекс таблиц”.
Если в результате симплексного преобразования в столбце свободных членов B все еще есть отрицательные элементы, то необходимо применять п. 1-5 “Алгоритм 2 Симплекс преобразования на основе укороченных симплекс таблиц” до тех пор пока все элементы столбца свободных членов не будут положительными
Если в результате симплексного преобразования в столбце свободных членов B нет отрицательных элементов, тогда перейти к применению “Алгоритма 1 Симплекс преобразования на основе укороченных симплекс таблиц” (п.1-6)