Поскольку на каждом шаге каждый отрезок разбивался на три части (а мог бы и на четыре и более), то в итоге получаем фигуру, названную Мандельбротом триадный терагон (от греческого
слова терос - чудовище, странное создание) Коха, длина стороны которого при каждом шаге уменьшается, стремясь
в пределе к бесконечно малой величине, но число таких сторон адекватно увеличивается, стремясь к бесконечности.
При этом при каждом шаге длина кривой Коха L( )
увеличивается на треть и при бесконечном числе шагов длина линии бесконечна.
На первом шаге алгоритма длина отрезка составляет 1/3 от первоначальной. Тогда длина кривой Коха вычисляется просто:
На втором шаге алгоритма длина элементарного отрезка = 1/9, соответственно длина кривой:
L = 4 1/3 = 4/3 = 1,33…
L = 16 1/9 = 16/9 = 1,777…
Процесс этот можно продолжить до бесконечности, заметив, что с увеличением числа шагов n длина элементарного отрезка стремится к 0, а длина кривой L стремится к бесконечности:
L = (4/3)n= (1/3)n
Из этих выражений получаем: n = (1/lnЗ) ln(1/ ). Подставляя n получим:
L = exp[n ln(4/3)] = exp[(ln(4/3)/ln3] ln(l/ )
|
L( ) 1 D |
Обозначив D = ln4/ln3, получаем: |
Из последнего соотношения видно, что постоянным показателем остается только величина D, поскольку она не зависит от
масштаба измерения и является характеристикой данной линии
"кривая Коха". Она называется фрактальной
размерностью.
С геометрической точки зрения фрактальная размерность является показателем того, насколько плотно эта линия заполняет плоскость или пространство.
Аналогичным образом можно рассчитать фрактальную размерность других регулярных фракталов, например, плоского регулярного фрактала - салфетки Серпинского и множества других, измысленных математиками.
Получается, что фрактальная размерность такой линии больше, чем у прямой линии, но меньше, чем у плоскости.
На самом деле мы имеем дело с особым физическим (или математическим) объектом, относящимся к классу множеств.
В зависимости от того, как мы его измеряем, он несколько меняет свои параметры, а, возможно, и свойства.
Это уже не линия, но еще и не полноценная плоскость.
Кривую Коха можно растянуть в прямую линию, поэтому ее топологическая размерность равна единице.
Фрактальная размерность ее, равная 1,2618.. больше топологической, что и говорит о том, что кривая является структурой, отличной от линии, но еще не ставшей плоскостью.
Идеально гладкий лист бумаги есть символ плоскости.
Хорошо помятый лист бумаги в принципе представляет собой фрактал, площадь которого зависит от того, как мы его измеряем, хотя до акта помятости никаких сомнений не возникало.
Перевод объекта в иные рамки изменил его свойства. Интересный вопрос о фрактальной размерности тонкой мятой вуали, изготовленной из очень тонких нитей.
Другим математическим фракталом, имеющим аналоги как в нанотехнологии, так и в космогонии, является канторова пыль. Инициатором является единичный отрезок прямой линии.
Первый этап построения состоит в разделении интервала на три части и удаления открытой средней части. С глаз долой, из сердца вон.
Затем удаляются средние трети у каждого из N=2 оставшихся отрезков. И так до бесконечности.
Образовавшееся множество остатков С определяется как двоичное, поскольку N=2, и называется канторовым дисконтинуумом, но Мандельброт предложил его называть канторовой пылью.
Множество, полученное в результате этих несложных манипуляций, самоподобно, а его размерность определится, как:
D ln N / ln(1/ r) ln 2 / ln 3 0,6309
Изменяя алгоритм построения (можно делить на 5 частей и удалять четные и т.п.) можно получать и другие значения фрактальной размерности, лежащие в интервале 0 - 1.
С топологической же точки зрения все канторовы множества имеют размерность 0, так как по определению, любая точка канторова множества отделена от любой другой, причем для ее
отделения ничего не надо удалять. В пределе число этих точек стремится к бесконечности, но в зависимости от генератора это будут разные бесконечности, отличающиеся своей
фрактальной размерностью.
Каждая из этих бесконечностей будет характеризоваться своей фрактальной размерностью. Мы впервые получаем мощный
инструмент для анализа разных бесконечностей с помощью фрактальной размерности.
Интервал самоподобия различных природных объектов может содержать масштабы от долей микрометра при рассмотрении структуры пористых горных пород и сплавов металлов до десятков километров при рассмотрении рельефа местности и формы облаков.
В качестве примеров естественных (природных) фракталов можно привести деревья, облака, реку и разветвленную сеть ее притоков, систему кровообращения человека, "морозные" узоры на стекле и т.д.
Если совершенно разные, но схожие между собой объекты характеризуются одной фрактальной размерностью, то мы вправе предположить, что они обладают и сходным свойствами в каком-то ограниченном масштабе.
Поэтому, изучая свойства доступного фрактального объекта, мы можем прогнозировать свойства другого фрактального объекта, нам не доступного, но имеющего такую же фрактальную размерность - например, звездную систему.
Самоподобие предполагает, что копирование и масштабирование некоторого "эталонного" образа позволяет природе легко создавать сложную многомасштабную структуру.
Знать бы еще, как это делается, и можно было бы спокойно спать.
Математические фракталы обладают удивительной и неповторимой красотой. Сейчас известно громадное количество алгоритмов их построения и использование самых разных инициаторов и генераторов.
Появление мощных компьютеров дало своеобразный импульс к псевдохудожественному творчеству в области фрактальной геометрии. В Интернете можно найти целые галереи различных математических фракталов, которые, надо честно признать, просто завораживают своей удивительной, странной и неповторимой красотой.
Долгое рассматривание таких картинок благотворно влияет на человеческую психику – почти, как рыбки в аквариуме.
Но при этом надо все время помнить бессмертные слова Козьмы Пруткова – "Бросая камешки в воду, наблюдай за кругами, ими образуемыми. Иначе занятие это будет пустою забавою«.
|
|
"Губка Менгера" |
|
Салфетка Серпинского |
"Дракон Пеано". |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Множество Мандельброта
