Теория управления / 5_4_ЧастХарки

Радиоавтоматика – 5.13 –

5.4. Частотные характеристики

Частотные характеристики показывают зависимость коэффициента передачи звена от частоты гармонического сигнала.

x (t) = x_maxsin(t);

При подаче на вход звена гармонического сигнала на выходе линейного звена появятся гармонические колебания с той же частотой. Синусоида на выходе может отличаться от синусоиды на входе по амплитуде и по фазе.

y (t) = y_maxsin(t+);

При фиксированной амплитуде колебаний на входе, амплитуда колебаний на выходе зависит от частоты колебаний.

Зависимость отношения амплитуды колебаний на выходе к амплитуде колебаний на входе, т.е. зависимость коэффициента передачи звена, от частоты входного сигнала, называется амплитудной частотной характеристикой (АЧХ) звена (рис.5.4.1).

A() = y_max/x_max;

Рис.5.4.1. Амплитудная частотная характеристика

Зависимость разности фаз выходного и входного сигналов, т.е. зависимость изменения фазового сдвига сигнала, от частоты входного сигнала называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ) (рис.5.4.2).

() = _y()–_х();

Рис.5.4.2. Фазовая частотная характеристика

Амплитудную и фазовую частотные характеристики можно объединить в одну амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ), используя A(w) и j(w) в качестве модуля и угла полярных координат (рис.5.4.3).

w_р

w_р

w_р

w_р

Рис.5.4.3. Комплексная частотная характеристика

АЧХ представлена в виде вектора, длина которого соответствует коэффициенту передачи А(), а угол отклонения вектора от полярной оси соответствует фазовому сдвигу (), т.е. ФЧХ. За положительное направление вращения вектора принято вращение против часовой стрелки, следовательно, отрицательный фазовый сдвиг соответствует вращению вектора по часовой стрелке. Для нашей АФЧХ при =0 длина вектора равна k, фазовый сдвиг ₀=0.

Каждой частоте соответствует своё положение вектора под углом  к полярной оси. След конца вращающегося вектора называется АФЧХ. Каждая точка АФЧХ соответствует определённому значению частоты, т.е. аргументом является частота, хотя сама частота на АФЧХ не обозначена.

Резонансной частоте _р соответствует максимальная длина вектора и угол поворота –90.

АФЧХ обозначается как W(j). Символически вращающийся вектор можно записать в показательной форме.

W(j) = A()e ^{j ()};

В показательной форме входной сигнал равен

x = x_maxe ^jt;

а выходной сигнал равен

y = y_maxe ^{j (t+)};

Иногда удобней записывать АФЧХ в декартовых координатах, обозначив одну ось как действительную, другую - как мнимую. Проекцию вектора на действительную ось обозначим как P(w), проекцию вектора на мнимую ось обозначим как Q(w).

В этом случае АФЧХ называется комплексной ЧХ, и равна сумме действительной и мнимой частей характеристики.

W(j) = P() + jQ();

где P() и Q() проекции вектора полярных координат на действительную и мнимую оси декартовых координат.

Между двумя формами записи комплексных частотных характеристик имеется чёткая связь.

где n = 0, 1, 2, 3 ...

Аналитическое выражение для частотных характеристик можно получить из передаточной функции, если рассмотреть случай, когда в комплексной переменной p =  + j  = 0, т.е. p = j .

Частный случай преобразования Лапласа при p = j называется преобразованием Фурье.

^{Прямое преобразование}

^{Обратное преобразование} ;

Функция времени f(t) представляется в виде бесконечной суммы комплексных гармоник вида

^{с малыми амплитудами}

Комплексная частотная характеристика равна передаточной функции при p = j, т.е.

W(j) = W(р);

при p = jw

В практических расчётах удобно применять частотные характеристики, построенные в логарифмическом масштабе. Для построения ЛАЧХ по оси ординат откладывается величина 20lgA(), которая обозначается как L().

L() = 20lgA();

В качестве единицы измерения коэффициента передачи, в этом случае, применяют децибел равный 0,1 Бела. Бел - единица десятичного логарифма коэффициента усиления, которая соответствует коэффициенту усиления по мощности в 10 раз. 2 Бела - в 100 раз, 3 Бела - в 1000 раз и т.д.

Так как мощность сигнала пропорциональна квадрату напряжения P = U²/R, а lgA² = 2lgA, то усиление по напряжению в Белах, выраженное через отношение амплитуд, равно 2lgA, что в децибелах будет равно 20lgA.

По оси абсцисс откладывается угловая частота в логарифмическом масштабе, т.е. наносятся метки соответствующие lg, а около меток пишется значение частоты  в рад/с (рис.5.4.4). Нуля частоты на логарифмических частотных характеристиках не может быть, так как логарифм 0 равен бесконечности.

Рис.5.4.4. Построение логарифмического масштаба

Для построения ЛАЧХ чаще используют десятичные логарифмы, поэтому при изменении логарифма на 1 единицу, частота изменяется в 10 раз. Интервал частот, соответствующий изменению частоты в 10 раз называется декадой.

Построение логарифмического масштаба производится следующим образом. Выбираем длину декады (рис.5.4.5). Рассчитываем значения логарифмов для частот, лежащих между значениями 1 и 10.

lg2 = 0,301; lg3 = 0,477;

lg4 = 0,602; lg5 = 0,699;

lg6 = 0,778; lg7 = 0,845;

lg8 = 0,903; lg9 = 0,954;

Обратите внимание, что lg2 это 1/3 декады, lg4 - это ещё 1/3 декады и lg8 - это ещё 1/3 декады. Эти значения можно использовать для приблизительного построения масштаба по оси частот. Интервал частот с отношением крайних значений 2 к 1 называется октавой.

Для значения частоты равной 2 выбираем расстояние от частоты равной 1 равным 0,301 длины декады (рис.5.4.5), для частоты равной 3 - 0,477 длины декады и т.д. Строим и обозначаем все частоты между 1 и 10. Затем этот же масштаб переносим на другие декады, соответственно изменив значения частот. Между частотами 0,1 и 1 будут частоты 0,2 0,3 до 0,9, между частотами 1 и 10, соответственно - частоты 2, 3 и т.д. до 9, между частотами 10 и 100, соответственно - частоты 20, 30 и т.д. до 90.

Рис.5.4.5. Изображение декады и её частей в логарифмическом масштабе

Главным достоинством ЛАЧХ является то, что во многих случаях их можно построить без больших вычислений, так как в большинстве случаев ЛАЧХ представляют собой прямые ломаные линии.

Вторым достоинством ЛАЧХ является то, что ЛАЧХ последовательно соединённых звеньев равна алгебраической сумме ЛАЧХ этих звеньев, т.е.

где, L_i() - ЛАЧХ i-го звена, n - .число последовательно соединённых звеньев.

АЧХ последовательно соединённых звеньев равна произведению их АЧХ. Перемножать частотные характеристики сложнее, чем суммировать.

ЛФЧХ строится в тех же координатах логарифмических частот, а фаза откладывается в обычном масштабе, так как фазовый сдвиг последовательно соединённых звеньев равен алгебраической сумме фазовых сдвигов этих звеньев, т.е.

Пример 5.4.1.

Построить ЛАЧХ последовательно соединённых звеньев имеющих: L₁(), L₂(), L₃() (рис.5.4.6)

Рис.5.4.6. Построение ЛАЧХ трёх последовательно соединённых звеньев