Теория управления / 7_4_Найкв

Радиоавтоматика – 7.16 –

7.4. Критерий Найквиста

Критерий устойчивости Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по поведению годографа разомкнутой системы. Для системы устойчивой в разомкнутом состоянии условие устойчивости замкнутой системы сводится к требованию не охватывания точки –1,j0 АФЧХ разомкнутой системы (рис. 7.4.1). Система, имеющая АФЧХ типа 1, является устойчивой. Система, имеющая АФЧХ типа 2, является неустойчивой.

Рис. 7.4.1. АФЧХ: устойчивой системы- 1; не устойчивой системы - 2

Рис. 7.4.2. АФЧХ условно устойчивой системы

Система, имеющая АФЧХ, показанную на рис.7.4.2, называется условно устойчивой, так как она может стать неустойчивой не только при повышении усиления, но и при снижении усиления до получения охвата точки –1,j0. При дальнейшем снижении усиления система опять станет устойчивой.

Неограниченное увеличение коэффициента усиления в любой системе приводит к потере устойчивости. Уменьшение коэффициента усиления, в основном, приводит к повышению устойчивости, но при некоторых видах АФЧХ уменьшение коэффициента усиления может привести к потере устойчивости.

Логарифмические частотные характеристики требуют меньших затрат времени на их построение, нежели АФЧХ. Для систем устойчивых в разомкнутом состоянии условие не охвата точки (–1,j0) сводится к тому, что на частоте единичного усиления значение фазового сдвига должно быть меньше –, т.е. ЛАЧХ должна пересечь линию 0 дБ раньше, чем ЛФЧХ окончательно перейдёт значение –.

Пример частотных характеристик устойчивой системы показан на рис.7.4.3, комплект частотных характеристик под номером 1.

Рис.7.4.3. ЛАЧХ и ЛФЧХ: устойчивой - 1 и неустойчивой - 2 систем

Частотные характеристики, приведённые на рис.7.4.3, соответствуют частотным характеристикам, приведённым на рисунке рис.7.4.1, а ЧХ, приведённые на рис 7.4.4 - рис. 7.4.2.

Рис.7.4.7. ЛАЧХ и ЛФЧХ условно устойчивой системы

Кроме оценки факта устойчивости системы критерий Найквиста позволяет судить о запасе устойчивости. Запас устойчивости по фазе определяется значением изменения фазы Dj, на которое можно увеличить запаздывание по фазе на частоте единичного усиления, не переходя границу устойчивости.

Запас устойчивости по амплитуде определяется значением допустимого подъёма усиления DL на частоте, соответствующей фазовому сдвигу, –p при котором система окажется на границе устойчивости.

Для системы неустойчивой в разомкнутом состоянии условие устойчивости замкнутой системы гласит: АФЧХ разомкнутой системы должна охватывать точку –1,j0 (рис.7.4.5). При этом число пересечений ею отрицательной действительной полуоси левее точки –1,j0 сверху вниз , если двигаться по АФЧХ от  = 0 к  = , должно быть на k/2 больше числа пересечений снизу вверх . k - число правых полюсов передаточной функции разомкнутой системы, т.е. число полюсов с положительной действительной частью.

1. k = 1,  = 0,5;  = 0.

2. k = 2,  = 1;  = 0.

Рис.7.4.5. АФЧХ систем неустойчивых в разомкнутом и устойчивых в замкнутом состоянии

Эти же требования можно записать через параметры вектора 1 + W(j). Вектор 1 + W(jw), начало которого находится в точке –1,j0, а конец на АФЧХ разомкнутой системы, повернулся в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки на угол k, где k - число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы. Т.е. чтобы АФЧХ W(jw) охватывала точку –1,j0 в положительном направлении k/2 раз.

Для систем, имеющих в разомкнутых передаточных функциях k неустойчивых звеньев, необходимо и достаточно иметь разность между положительными и отрицательными переходами фазовой характеристики линии фазового сдвига ‑p, равную k/2, при значениях частот, для которых ЛАЧХ не отрицательна.

Переход фазовой характеристики считаем положительным, если она пересекает линию фазового сдвига ‑p снизу вверх (­), т.е. фазовый сдвиг уменьшается, и отрицательным, если фазовая характеристика пересекает линию фазового сдвига ‑p сверху вниз (¯).

Пример 7.4.1.

Задана структурная схема системы (рис.7.4.6).

Рис. 7.4.6. Структурная схема системы

Определить, пользуясь критерием Найквиста, будет ли система устойчива. Определить запасы или избыток по фазе и коэффициенту усиления.

Получим передаточную функцию разомкнутой системы:

Определяем частоты пересечения оси 0 дБ и частоты перегиба или частоты среза характеристик звеньев

W₁(p) = 1/0,25р; интегрирующее звено с Т₁ =0,25; ₁ = 4; ₁() = –90.

W₂(p) = 0,5р+1; форсирующее звено с Т₂ = 0,5; ₂ = 2; ₂() = arctg(T₂) = arctg(0,5).

апериодическое звено с Т₃ = 1 и с частотой среза ₃ = 1; ₃() = arctg(–T₃) = arctg(–).

апериодическое звено с Т₄ = 2, с частотой среза ₄ = 0,5; ₃() = arctg(–T₃) = arctg(–2).

Строим асимптотические ЛАЧХ звеньев и суммарную ЛАЧХ системы (рис.7.4.7).

Рис.7.4.7. ЛАЧХ и ЛФЧХ системы

Вычисляем значения фазовых сдвигов в зависимости от частоты.

Результаты расчёта фазового сдвига каждого звена объединяем в таблицу 7.4.1, вычисляем суммарный фазовый сдвиг _() и строим фазовую частотную характеристику. Определяем запас по фазе и запас по амплитуде.

Таблица 7.4.1.

Фазовые сдвиги звеньев.

	0,1	0,5	1	2	4	10
1()	–90	–90	–90	–90	–90	–90
2()	2,86	14	26,6	45	63,4	78,7
3()	–5,7	–26,6	–45	–63,4	–76	–84,3
4()	–11,3	–45	–63,4	–76	–82,87	–87,1
()	–104,1	–147,6	–171,8	–184,4	–185,5	–182,7