Теория управления / 7_1_Устойчивость

Радиоавтоматика – 7.6 –

7. Анализ устойчивости САУ

7.1. Понятие устойчивости

Устойчивость - это свойство системы возвращаться в исходный, или близкий к нему, режим после всякого выхода из него в результате, какого-либо, ограниченного воздействия. Шарик, лежащий на выпуклой поверхности (рис.7.1.1), может некоторое время сохранять свое положение, а система шарик-поверхность - своё состояние, если шарик поместить точно на верхнюю точку.

Рис.7.1.1. Неустойчивая система: шарик - поверхность

При любом, даже очень слабом воздействии, шарик скатится и назад не вернётся. Такая система является неустойчивой.

Шарик, лежащий на вогнутой поверхности (рис.7.1.2), представляет собой устойчивую систему, возвращающуюся в исходное состояние, после воздействий, не разрушающих систему.

Рис.7.1.2. Устойчивая система: шарик - поверхность

Если воздействие на шарик будет таково, что он выскочит за пределы вогнутой поверхности, то система будет разрушена и встанет вопрос не об её устойчивости, а об её прочности. Система изображенная на рис.7.1.3 представляет граничный случай устойчивой системы. Такую систему нельзя считать устойчивой поскольку даже очень слабое воздействии может привести к очень большим изменениям состояния системы.

Рис.7.1.3. Граничный случай устойчивой системы: шарик - поверхность

В неустойчивой системе достаточно любого толчка, чтобы в ней начался расходящийся переходной процесс (рис.7.1.4).

Рис.7.1.4. Расходящиеся переходные процессы

Переходной процесс может быть колебательным, кривая 1, или апериодическим, кривая 2.

В устойчивой системе переходной процесс всегда является затухающим (рис.7.1.5), колебательным, кривая 1, малоколебательным, кривая 2, или апериодическим, кривая 3.

Рис.7.1.5. Затухающие переходные процессы

Расходящийся переходной процесс возникает в системе при наличии положительной обратной связи по системе в целом, или в какой то её части.

В системе с отрицательной обратной связью колебательный переходной процесс может возникать при большом коэффициенте усиления в разомкнутой цепи или большом времени задержки в цепи ОС. Большой коэффициент усиления приводит к тому, что управляющее устройство слишком энергично воздействует на объект управления. В этом случае при каждом очередном возврате к нулю, под действием управляющего устройства, выходной сигнал по инерции проскакивает нулевое значение. При очень большом коэффициенте усиления система с отрицательной обратной связью может стать неустойчивой. При большом времени задержки в цепи ОС УУ может не успевать реагировать на изменения выходного сигнала и это тоже вызывает колебательный переходной процесс.

В установившемся режиме устойчивую систему можно определить как систему с затухающим переходным процессом. Однако система может работать в условиях непрерывно изменяющихся воздействий, когда установившейся режим вообще отсутствует. Для этого случая необходимо сформулировать более общее определение устойчивости - система устойчива, если значение её выходной величины остаётся ограниченным в условиях ограниченных по значению воздействий.

7.2. Условия устойчивости

Уравнение динамики линейной системы описываются линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами:

a_nyⁿ + a_n–1y^n–1 + ... + a₂y" + a₁y' + a₀ =

= b_mx^m + b_m–1x^m–1 + ... + b₂x" + b₁x' + b₀;

где yⁿ и x^m - производные от выходной и входной величин, m и n - целые числа, определяющие порядок производной.

Это же уравнение можно записать короче:

где m  n.

Решение неоднородного дифференциального уравнения удобно представить в виде суммы общего и частного решений

y(t) = y_с(t) + y_в(t),

где y_в(t) - частное решение неоднородного уравнения, описывающее вынужденный режим системы, устанавливающийся после окончания переходного процесса.

y_с(t) - общее решение однородного уравнения, определяющее собственное движение системы.

(7.2.1).

Система будет устойчивой, если при t   y_с(t)  0, т.е. переходной процесс, вызванный любым возмущением будет затухающим.

Общее решение однородного уравнения удобно искать в виде

, (7.2.2)

где С_i - постоянные интегрирования, определяющиеся начальными условиями и возмущением;

_i корни характеристического уравнения:

a_nⁿ + a_n–1^n–1 + ... + a₂" + a₁' + a₀ = 0; (7.2.3)

получающегося заменой оператора дифференцирования в однородном дифференциальном уравнении (7.2.1) на комплексную переменную

 =   j.

Для получения характеристического уравнения из передаточной функции системы W(p) необходимо приравнять нулю знаменатель передаточной функции и заменить оператор дифференцирования р на комплексную переменную  с показателем степени n равным порядку производной.

Переходной процесс y_с(t) является суммой составляющих, число которых определяется числом корней _i характеристического уравнения системы.

Корни _i, в общем случае, являются комплексными, образуя пары сопряжённых корней

_i,i+1 = _i  j_i.

Каждая пара корней даёт составляющую переходного процесса равную

.

Обозначив

и воспользовавшись тождеством Эйлера

e^jt = cost jsint;

получим

Из равенства sin( + ) = sincos + cossin; получим

Отсюда

, (7.2.4)

Из (7.2.4) видно, что каждая составляющая представляет собой синусоиду с амплитудой, изменяющейся во времени по экспоненте. При этом, если:

_i < 0 - колебания затухающие;

_i > 0 - колебания расходящиеся;

_i = 0 - колебания незатухающие с постоянной амплитудой, т.е. имеем пару мнимых корней.

При _i = 0 получаем пару действительных корней _i = _i+1. Соответствующая им составляющая переходного процесса представляет экспоненту, затухающую при a_i < 0 и возрастающую при a_i > 0.

В общем случае переходной процесс состоит их колебательных и апериодических составляющих.

На рис.7.2.1 показано различное расположение полюсов (нулей знаменателя) передаточной функции системы на комплексной плоскости и соответствующие им переходные характеристики системы.

Рис.7.2.1. Вид переходных характеристик,

соответствующих расположению полюсов на комплексной плоскости

Каждая колебательная составляющая определяется появлением комплексных сопряжённых корней, апериодическая - действительного корня.

Общим условием затухания всех составляющих является отрицательность действительной части всех корней характеристического уравнения системы, т.е. всех полюсов (нулей знаменателя) передаточной функции системы (рис.7.2.2).

Рис.7.2.2. Расположение корней устойчивой системы на комплексной плоскости

Корни с мнимой частью не равной нулю всегда имеют два корня, расположенных симметрично относительно действительной оси. Если хотя бы один корень системы имеет положительную действительную часть, он даёт расходящуюся составляющую переходного процесса и система в целом окажется неустойчивой.

Пара сопряжённых мнимых корней _i,i+1 =  j_i даёт незатухающую гармоническую составляющую. Этот случай является граничным - такая система так же неработоспособна, как и неустойчивая система.

Общим условием устойчивости системы является расположение всех корней характеристического уравнения системы, т.е. всех полюсов (нулей знаменателя) передаточной функции системы в левой комплексной полуплоскости.

Непосредственное решение дифференциального уравнения для определения устойчивости системы часто вызывает большие математические трудности. Для упрощения задачи определения устойчивости были предложены косвенные признаки, позволяющие судить о знаках действительной части корней без решения уравнений системы. Эти косвенные признаки назвали критериями устойчивости. На практике пользуются тремя основными критериями устойчивости:

• критерий Рауса - Гурвица (алгебраический критерий);

• критерий Михайлова (графический критерий);

• критерий Найквиста (частотный критерий).