ФТТ_9283_Зикратова_4_лаб

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина)

Кафедра МНЭ

отчёт

по лабораторной работе №4

по дисциплине «Физика твёрдого тела»

Тема: Исследование тензоэффекта в кремнии

Студенты гр. 9283		Зикратова А. А.
		Брацышко К. Б.
Преподаватель		Захарченко М. В.

Санкт-Петербург

2021

Цель работы.

Изучение изменения сопротивлений образцов при деформации

Основные теоретические положения.

Изменение удельного сопротивления кристалла при его деформации называется тензоэффектом. На практике деформация кристалла осуществляется посредством воздействия на него внешней нагрузки, прикладываемой в заданном кристаллографическом направлении. Всякая деформация кристалла сопровождается появлением в нем механических напряжений. Рассматривая тензор удельного сопротивления ρ_ik как функцию тензора напряжений P_ik, разложим его в ряд по степеням Р_iк и ограничимся линейным членом

ρ_ik = ρ_ik(0) +

Первый член в этом разложении р, (0) представляет собой тензор удельного сопротивления недеформированного кристалла р.к, а второй - его изменение при деформации

∆ρ_ik = ρ_ik - ρ_ik(0) =

Как правило, интерес представляет не абсолютное значение ∆ρ_ik, а относительное изменение ρ_ik. Для этого определим среднее значение удельного сопротивления недеформированного кристалла в виде

ρ_ср⁰ = (1/3)(ρ₁₁⁰ + ρ₂₂⁰ + ρ₃₃⁰)

Разделив левую и правую части уравнения на ρ_ср⁰, получим следующее материальное уравнение, описывающее тензоэффект в кристаллах

= π_iklm

Тензор четвертого ранга π_iklm = называется тензором пьезосопротивления. Так как ρ_ik = ρ_ki и = этот тензор обладает следующей симметрией относительно перестановки индексов: π_iklm = π_kilm = π_ikml. Отсюда следует, что тензор пьезосопротивления в общем случае определяется 36 независимыми величинами. Симметрия накладывает дополнительные ограничения на число независимых и неравных нулю компонентов этого материального тензора. В частности, в кристаллах кубической сингонии (в кристаллографической системе координат) они определяются всего тремя независимыми компонентами – π₁₁, π₁₂ и π₄₄

π₁₁ = π₁₁₁₁ = π₂₂₂₂ = π₃₃₃₃

π₁₂ = π₁₁₂₂ = π₁₁₃₃ = π₂₂₁₁ = π₂₂₃₃ = π₃₃₁₁ = π₃₃₂₂,

π₄₄ = π₁₂₁₂ = π₁₂₂₁ = π₂₁₁₂ = π₂₁₂₁ = π₁₃₁₃ =

= π₁₃₃₁ = π₃₁₁₃ = π₃₁₃₁ = π₂₃₂₃ = π₂₃₃₂ = π₃₂₂₃ = π₃₂₃₂

Рассмотрим стержень, вырезанный из кристалла, с осью, направленной вдоль единичного вектора n. Под действием однородной внешней нагрузки, действующей вдоль n, стержень может растягиваться или сжиматься. Если P - сила, действующая на единицу площади основания стержня, то тензор

механических напряжений в кристалле определяется как

= Pn_in_k

где P > 0 соответствует растяжению стержня, P < 0 - сжатию Согласно закону Гука напряжение и деформация в кристалле связаны соотношением

P_ik = C_iklmu_lm

где u_lm тензор деформации, C_iklm - тензор модулей упругости. Последний

обладает следующей симметрий относительно перестановки индексов

C_{iklm =} C_{kilm =} C_ikml - C_lmik

Таким образом, в общем случае имеет место всего 21 независимая составляющая этого тензора. В кубических кристаллах только три упругие постоянные, С₁₁, С₁₂ и С₄₄, определяют все неравные нулю компоненты этого тензора

C₁₁ = C₁₁₁₁ = C₂₂₂₂ = C₃₃₃₃.

C₁₂ = C₁₁₂₂ – C₁₁₃₃ - C₂₂₁₁ - C₂₂₃₃ - C₃₃₁₁ = C₃₃₂₂ -

C₄₄ - C₁₂₁₂ - C₁₂₂₁ - C₂₁₁₂ = C₂₁₂₁ = C₁₃₁₃ =

= C₁₃₃₁ = C₃₁₁₃ = C₃₁₃₁ - C₂₃₂₃ = C₂₃₃₂ - C₃₂₂₃ = C₃₂₃₂

Обработка результатов эксперимента.

1-2) Рассчитать u в зависимости от h, построить зависимость ∆R/R₀ = f(u) для каждого образца, по экстраполированным линейным зависимостям определить k для каждого образца:

Пример расчёта u для 1-го образца при h = 63 мм:

= = ≈ -2,94 ‧ 10^-5

Из экстраполированного графика видно, что коэффициент тензочувствительности для 1-го образца k = -192,1

Рис. 3 – Экстраполированные зависимости для образцов с отмеченными экспериментальными точками

k = y/x. Для остальных образцов коэффициенты тензочувствительности k представлены в нижеследующей таблице.

Образец 1:

Образец 2:

Образец 3:

Образец 4:

Образец 5:

Образец 6:

Образец 7:

Образец 8:

Образец 9:

Образец 10:

3) Определение коэффициента продольного пьезосопротивления для всех образцов:

Рис. 2 – Типы ориентации кремния в работе

,

Пример расчёта для 4-го образца:

‧ ≈

≈ 7,67 ‧ 10^-12

Для остальных образцов коэффициенты представлены в таблице:

4) Вычислить коэффициенты пьезосопротивления π₁₁ и (π₁₂ + 2π₄₄) для 2-х групп образцов – 5, 6, 7 и 8, 9, 10:

π_n = π₁₁ + 2 ‧ (π₁₂ + 2π₄₄ - π₁₁) ‧

Для группы 5, 6, 7:

3,07 ‧ 10^-9 = π₁₁ + 2 ‧ (π₁₂ + 2π₄₄ - π₁₁) ‧ 3 = 6π₁₂ -5π₁₁ + 12π₄₄ =

= -5π₁₁ + 6 ‧ (π₁₂ + 2π₄₄)

-3,24 ‧ 10^-11 = π₁₁ + 2 ‧ (π₁₂ + 2π₄₄ - π₁₁) ‧ 1 = 2π₁₂ - π₁₁ + 4π₄₄ =

= - π₁₁ +2 ‧ (π₁₂ + 2π₄₄)

1,19 ‧ 10^-11 = π₁₁ + 2 ‧ (π₁₂ + 2π₄₄ - π₁₁) ‧ 0 = π₁₁

Для группы 8, 9, 10:

1,3 ‧ 10^-9 = π₁₁ + 2 ‧ (π₁₂ + 2π₄₄ - π₁₁) ‧ 0 = π₁₁

-6,92 ‧ 10^-10 = π₁₁ + 2 ‧ (π₁₂ + 2π₄₄ - π₁₁) ‧ 3 = 6π₁₂ -5π₁₁ + 12π₄₄ =

= -5π₁₁ + 6 ‧ (π₁₂ + 2π₄₄)

2,17 ‧ 10^-11 = π₁₁ + 2 ‧ (π₁₂ + 2π₄₄ - π₁₁) ‧ 1 = 2π₁₂ - π₁₁ + 4π₄₄ =

= - π₁₁ +2 ‧ (π₁₂ + 2π₄₄)

Коэффициенты для групп образцов представлены в таблице:

Выводы:

в ходе лабораторной работы для образцов были экспериментально установлены коэффициенты тензочувствительности k_n (определяет относительное изменение сопротивления при деформации) и коэффициенты продольного пьезосопротивления π_n (определяет изменение удельного сопротивления под действием механических напряжений). С позиции зонной теории, при деформации в кристалле происходит изменение размеров зон разрешённых значений энергии (изменение ширины запрещённой зоны), что приводит к изменению интенсивности обменного взаимодействия (подвижность и концентрация носителей заряда меняется также за счёт вертикального сдвига потенциального барьера) между атомами кристаллической решётки. Тензоэффект в полупроводниках n-проводимости обусловлен тем, что в результате анизотропной деформации экстремумы энергии (долины) становятся неэквивалентными и происходит перераспределение электронов по экстремумам. Минимумы, дно которых опустится, дадут большой вклад в проводимость, чем минимумы, дно которых поднимется. Тензоэффект в полупроводниках p-проводимости обусловлен снятием вырождения зон энергии при наложении анизотропной деформации. В результате снятия вырождения меняется число легких и тяжелых дырок, обладающих различной подвижностью и дающих благодаря этому различный вклад в проводимость, что приводит к изменению сопротивления даже при сохранении общего числа дырок. Для материалов с дырочной проводимостью k_n < 0 - сопротивление уменьшается при деформации (для 4 и 7 образцов с ориентацией [1 0 0] k > 0, но по модулю намного меньше остальных коэффициентов), а для материалов с электронной проводимостью k_n > 0 - сопротивление увеличивается при деформации.