Мат Анал / Методичка 1

Замечание 2.5. 1. Для пределов на бесконечности и бесконечных пределов остаются в силе теоремы о пределе суперпозиции.

2. В дальнейшем, если не оговорено пðотивное, будем предполагать,

что если существует lim f(x) = b, òî b R, т. е. предел может быть как

x→a

конечным, так и бесконечным.

3. Если множество X R не ограничено сверху (снизу), то будем считать, что sup X = +∞ inf X = −∞.

2.9. Предел последовательности

Пусть f : N → R, f(n) = yn последовательность. О пределе последовательности можно говорить только в точке +∞ единственной

предельной точке N. Если этот предел существует и конечен, то говорят,

что последовательность сходится. Кроме общего обозначения lim f(n) =

n→+∞

= b используются также обозначения lim yn = b èëè yn → b. По определению предела

lim yn = b ε > 0 δ > 0 : n N, n > δ yn Kε(b) |yn − b| < ε.

ßñíî, ÷òî δ всегда можно выбрать из N.

Для последовательностей рассматриваются и бесконечные пределы, например: lim yn = +∞ ε > 0 δ > 0 : n N, n > δ yn > ε.

Теорема 2.11 (Больцано Коши). Для сходимости последовательности {yn} необходимо и достаточно, чтобы

ε > 0 δ > 0 : n, m N, n > m > δ |yn − ym| < ε.

Доказательство теоремы 2.11 можно найти в [ 6 ] (т. 3.18).

Теорема 2.12 (Гейне). Пусть f : X → R, a предельная точка

X. Тогда для существования предела lim f(x) = b необходимо и достаточ-

x→a

но, чтобы для любой последовательности {xn} X, xn → a, xn 6= a, было выполнено f(xn) → b.

Доказательство теоремы 2.12 можно найти в [ 6 ] (т. 3.19).

Теоремой Гейне удобно пользоваться при доказательстве того, что пре-

äåë lim f(x) = b не существует. Для этого достаточно указать две последо-

x→a

вательности {xn} X, xn → a, xn 6= a è {x0n} X, x0n → a, x0n 6= a такие, что f(xn) è f(x0n) либо не имеют пределов, либо их пределы различны.

20

2.10. Предел и монотонность

В этом параграфе мы выделим класс функций, для которых сложный вопрос о существовании предела в точке решается относительно легко. Это класс монотонных функций. При изучении пределов монотонных функций

в точке a следует рассмотреть четыре основных случая: функция задана

левее (правее) точки a и не убывает (не возрастает). Сформулируем и докажем теорему для первого случая.

Теорема 2.13. Пусть a = sup(X) предельная точка множества X, a 6 X, функция f : X → R не убывает и ограничена сверху. Тогда

существует и конечен lim f(x) = lim f(x) = sup f(X).

x→a x→a−0

Доказательство. По условию A = sup f(X) < +∞. Пусть сначала a < +∞. Òàê êàê a = sup(X) предельная слева (но не справа) точка

→ −

случая a = +∞ в качестве δ следует взять c, которое можно выбрать

положительным, и далее повторить рассуждение приведенное ранее. Аналогично доказывается следующая теорема.

Теорема 2.14. Пусть a = sup(X) предельная точка множества X, a 6 X, функция f : X → R не возрастает и ограничена снизу. Тогда

существует и конечен lim f(x) = lim f(x) = inf f(X).

x→a x→a−0

Для частного случая X = N получаем следующую теорему.

Теорема 2.15 (Вейерштрасса). Неубывающая (невозрастающая)

ограниченная сверху (снизу) последовательность имеет конечный предел.

Предложение 2.3. Если f не убывает (не возрастает) на (a, b), то для любого x0 (a, b) существуют f(x0 − 0), f(x0 + 0) è

f(x0 − 0) ≤ f(x0) ≤ f(x0 + 0) (f(x0 − 0) ≥ f(x0) ≥ f(x0 + 0)).

Доказательство. Рассмотрим только первый случай. Функция f íà

21

2.11. Число e

Лемма 2.1. Существует и конечен lim 1 + n1 n.

Доказательство. Мы будем пользоваться неравенством Бернулли

t ≥ −1 m N (1 + t)m ≥ 1 + mt,

Число e вычислено с большой точностью: e = 2.718281828459 . . . . Ïî- y = ex называется экспонентой и имеет специальное

обозначение ex = exp(x).

22

Доказательство. 1. Обозначим через [x] целую часть x, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее x. Тогда для x > 1 имеем:

3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ

Âэтой главе рассмотрим класс функций, для которых сложный вопрос

îсуществовании и вычислении предела в точке решается наиболее просто: он равен значению функции в этой точке.

23

3.1. Определение и свойства непрерывных функций

Определение 3.1. Функция f : X → R называется непрерывной в точке a X, если или a изолированная точка X, или a предельная

точка X и lim f(x) = f(a). Если f непрерывна в каждой точке множе-

x→a

ства X, то f непрерывна на X.

Далее будем считать, что a предельная точка X, так как в изолированной точке любая функция, по определению, непрерывна.

Теорема 3.1. Пусть функции f : X → Y, g : Y → R непрерывны в точках a и f(a), соответственно. Тогда их суперпозиция g◦f непрерывна в точке a.

Доказательство. По определению непрерывности lim f(x) = f(a) è

= (g ◦ f)(a), ò. å. g ◦ f непрерывна в точке a.

Теорема 3.2. Пусть функции f, g : X → R непрерывны в точке a. Тогда f + g, f − g, fg, f/g (при g(a) 6= 0) непрерывны в точке a.

Доказательство. По определению непрерывности lim f(x) = f(a) è

Непрерывность fg è f/g проверяется аналогично.

Так как простейшие функции, введенные в школьном курсе, (степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические), непрерывны в любой точке своей области определения, то из теорем 3.1 , 3.2 следует, что этим свойством обладают и все элементарные функции.

Наряду с понятием непрерывности дополнительно вводятся понятия непрерывности слева и справа.

Определение 3.2. Функция f : X → R называется непрерывной слева (справа) в точке a X, если или a изолированная точка X, или a предельная слева (справа) точка X и lim f(x) = f(a) ( lim f(x) =

= f(a)).

Теорема 3.3. Пусть a X предельная слева и справа точка X. Функция f : X → R непрерывна в точке a тогда и только тогда, когда f непрерывна слева и справа (одновременно) в точке a.

Доказательство. По теореме 2.10 о связи понятий предела и односторонних пределов имеем

24

Еще раз напомним, что функция f : X → R непрерывна в точке a предельной для множества X, если выполнены три условия:

1) f определена в a; 2) существует lim f(x); 3) lim f(x) = f(a).

x→a x→a

Определение 3.3. Если в точке a предельной для множества X, нарушено хотя бы одно из условий 1, 2, 3, то a называется точкой разрыва функции f.

Точки разрыва классифицируются следующим образом.

Определение 3.4. Точки разрыва a функции f называются: 1) точ-

кой устранимого разрыва, если существует конечный lim f(x); 2) точкой

x→a

разрыва первого рода, если существуют конечные, но различные lim f(x)

x→a−0

и lim f(x); 3) точкой разрыва второго рода, если она не является точ-

x→a+0

кой разрыва первых двух типов, т. е. если хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.

3.2. Функции непрерывные на отрезке

Здесь мы рассмотрим наиболее важные теоремы о функциях, непрерывных на отрезке. Первые две теоремы приводятся без доказательства.

Теорема 3.4 (Вейерштрасса). Пусть f непрерывна на [a, b]. Тогда f ограничена и достигает своих наибольшего и наименьшего значе- ний на [a, b], т. е. существуют точки x1, x2 [a, b] такие, что f(x1) = = sup f(x) наибольшее значение функции, f(x2) = inf f(x) наиме-

.. .

Теорема 3.5 (Больцано-Коши). Пусть f непрерывна на [a, b] и на концах промежутка принимает значения разных знаков, т. е. f(a)f(b) < < 0. Тогда существует точка c [a, b] такая, что f(c) = 0 (рис. 3.2).

Доказательство теоремы можно найти в [ 6 ] (т. 4.12).

25

Теорема 3.6. Пусть функция f непрерывна на [a, b] и inf f(x) <

x [a,b]

< C < sup f(x). Тогда существует точка c [a, b] такая, что f(c) = C

x [a,b]

(ñì. ðèñ. 3.3).

Доказательство. По теореме 3.4 x1, x2 [a, b] : f(x1) = sup f(x),

x [a,b]

f(x2) = inf f(x). Предположим, для определенности, что x1 < x2. Ôóíê-

x [a,b]

öèÿ ϕ(x) = f(x) −C непрерывна на [x1, x2] и принимает на концах отрезка значения разных знаков ϕ(x1) = f(x1) − C > 0, ϕ(x2) = f(x2) − C < 0. По теореме 3.5 существует c (x1, x2) (a, b), такая, что ϕ(c) = 0, ò. å. f(c) = C.

Предложение 3.1. Если функция f монотонна на [a, b] и ее значе- ния заполняют некоторый отрезок, то f непрерывна на [a, b].

Доказательство. Пусть, например, f неубывающая функция. Покажем, что f непрерывна слева в любой точке x (a, b]. Допустим против-

f([a, b]) есть отрезок. Значит f(x0 − 0) = f(x0). Аналогично доказывается непрерывность справа. Следовательно, по теореме 2.3 f непрерывна на

[a, b].

Следствие 3.1. Если функция f непрерывна и строго монотонна на [a, b], то обратная функция f−1 также непрерывна на f([a, b]).

Доказательство. Существование и строгая монотонность f−1 íà f([a, b]) были доказаны в теореме 1.2 . Из теорем 3.4 и 3.6 следует, что

применить предложение 3.1 .

3.3.Нахождение корня уравнения методом половинного деления

Пусть функция f непрерывна на [a, b] è f(a)f(b) < 0. По теореме Больцано-Коши на [a, b] лежит корень (может быть не единственный) урав-

26

корень. Иначе, обозначим через тот из отрезков и [(a + b)/2, b], на концах которого функция f принимает значения разных

заданная относительная погрешность. В качестве приближенного значения

4. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ

4.1.Дифференцируемость функций. Производная. Касательная

Пусть x0 X предельная точка множества X, f : X → R. Напомним (см. определение 2.5 ), что символом o(x−x0) обозначается любая функция, являющаяся бесконечно малой более высокого порядка, чем x − x0 ïðè

x → x0, ò. å. lim o(x − x0) = 0.

x→x0 x − x0

Определение 4.1. Функция f дифференцируема в точке x0, åñëè ñó- ществует A R такое, что f(x) = f(x0)+A(x−x0)+o(x−x0). Функция A(x − x0) называется дифференциалом функции f и обозначается dx0 f.

По определению функция f дифференцируема в x0, если она отличает- ся от некоторого многочлена первой степени f(x0)+A(x−x0) на бесконечно

малую более высокого порядка, чем x − x0 ïðè x → x0.

Функция f : R \ {0} → R, f(x) = x1 дифференируема

27

то он называется производной функции f в точке x0 и обозначается f0(x0).

Предложение 4.1. Если f дифференцируема в точке x0, ò. å. ïðåä-

ставима в виде f(x) = f(x0) + A(x − x0) + o(x − x0), то существует f0(x0) = A.

Доказательство. Так как существует предел

то существует и производная f0(x0) и она равна A.

Пример 4.1 показывает, что для функции f(x) = 1/x производная в любой точке x0 6= 0 равна f0(x0) = −1/x20.

Предложение 4.2. Если существует f0(x0), то f дифференцируема в точке x0 и верно равенство

f(x) = f(x0) + f0(x0)(x − x0) + o(x − x0) (формула Тейлора первого порядка для функции f в точке x0).

Доказательство. Из определения 4.2 производной следует, что

α(x) = f(x) − f(x0) − f0(x0) x − x0

есть бесконечно малая при x → x0. Отсюда находим

f(x) = f(x0) + f0(x0)(x − x0) + α(x)(x − x0).

Òàê êàê lim α(x) = 0, òî α(x)(x − x0) = o(x − x0). Поэтому

x→x0

f(x) = f(x0) + f0(x0)(x − x0) + o(x − x0).

Замечание 4.1. Из равенства x = x0 + (x−x0) + 0 следует, что x0 = 1

è dx0 x = x − x0, а потому dx0 f = f0(x0)dx0 x èëè df = f0dx. Рассмотрим прямые y = f(x0) + A(x − x0), проходящие через точку

M0(x0; f(x0)) графика функции f.

Определение 4.3. Прямая y = f(x0) + A(x − x0) называется касательной к графику функции f в точке x0, åñëè

f(x) − y = f(x) − (f(x0) + A(x − x0)) = o(x − x0).

28

Сравнивая данное определение с

фициент касательной к графику функции f в точке x0. Поэтому f0(x0) = = tg α, ãäå α угол наклона касательной к оси Ox.

Для любой прямой y = f(x0) + B(x − x0), не совпадающей с касательной, имеем f(x)−y = f(x)− f(x0)+B(x−x0) 6= o(x−x0). В этом смысле

то функция f непрерывна в точке x0.

4.2.Дифференцируемость суперпозиции функций и обратной функции

Теорема 4.1 Пусть f : X → Y , g : Y → R. Если функции f и g

дифференцируемы в точках x0 X è y0 = f(x0) Y соответственно, то их суперпозиция g ◦ f : X → R дифференцируема в точке x0 è

(g ◦ f)0(x0) = g0(f(x0))f0(x0).

Доказательство. По условию g(y) = g(y0) + g0(y0)(y −y0) + o(y −y0).

Рассмотрим функцию β : Y → R, β(y) = o(y − y0), åñëè y 6= y0 è β(y0) = 0.

(y − y0)

29