Мат Анал / Kratn_2

~ ~

~

(f, dl) =

(rot f, d~σ).

l+

Σ+

0xy, ~n+ = ~k и f~ = fx~i + fy~j. При этом rot f~ =

∂xy

−

∂yx

~k.

∂f

∂f

~

~

~ ~

(обход против часовой стрелки).

~

~

~

~

~

~

~

~

Так как f

= zi

+ xj

+ yk, то rot f

= i

+ j

+ k. За поверхность Σ,

круга 00

R

;

R

;

R

, его радиус R1

= R

2

. Единичный вектор нормали

3

3

1

3

3

3

√

~

~

~

~

~n = √

(i + j + k ). Так как (rot f, ~n) = √

=

3, то находим

3

3

2πR2

I (f~, dl~) =ZZ (rot f~, d~σ) =ZZ (rot f~, ~n )dσ = √3ZZ

dσ = √3πR12 =

√

.

3

l+

Σ+

Σ+

Σ+

~

~

~

~

Пример 4.13. Найти циркуляцию вектора2f =2yi−22zj +2xk вдоль эл-

липса, образованного сечением гиперболоида 2x −y +z

= R

плоскостью

y = x, в положительном направлении.

~

~

~

~

~

~

~

~

Так как f = yi

− 2zj + xk, то rot f = 2i

− j − k. За поверхность Σ,

1

~

~

3

имеет вид ~n = √

(i

− j ). Поэтому (rot~a, ~n ) = √

. Значит,

2

2

dσ =

I (f~, dl~) =

ZZ (rot f~, d~σ ) =

ZZ (rot f~, ~n )dσ = √2

ZZ

3

l+

Σ+

Σ+

Σ+

3

√

2

= √

πR

2R = 3πR

,

2

так как эллипс имеет полуоси R√

и R и его площадь, как известно, равна

2

произведению полуосей на число π.

Упражнения. Используя формулу Стокса решить задачи:

~ 2~ 2~ 2~

~

3~

3~

3~

4.34. Найти циркуляцию вектора f = z

i

+ x j + y

k по сечению ги-

направлении.

2~

2

2 ~

~

~

+ y

4.35. Найти циркуляцию вектора f = y

i + xyj + (x

)k по кривой,

вырезаемой в первом октанте из параболоида x2 + y2

= Rz плоскостями

x = 0, y = 0, z = R, в положительном направлении.

~

~

~

~

~

направлении внешней нормали.

~

~

~

~

4.37. Найти циркуляцию вектора f = (y + z)i

+ (z + x)j + (x + y)k

пробегаемого в направлении возрастания t.

~

~

~

~

x + y + z = 0, в положительном направлении.

R3

4

πR3.

3

πR4. 4.35.

Ответы: 4.33.

4.34.

. 4.36. −π. 4.37. 0.

3

2

3

~

∂

~

∂

~

∂

r = i

∂x

+ j

∂y

+ k∂z .

~

∂ϕ

~

∂ϕ

~

∂ϕ

= rϕ;

grad ϕ = i

∂x

+ j

∂y

+ k

∂z

∂ϕ

= (~e, rϕ) = (~e, r)ϕ;

∂~e

~

∂fx

∂fy

∂fz

~

div f =

+

+

= (r, f );

rot f~ = ∂yz

∂x

∂y

∂z

∂yx ~k =

− ∂zy ~i +

∂zx

− ∂xz

~j +

∂xy −

∂f

∂f

∂f

∂f

∂f

∂f

~i

~j

~k

= det

∂

∂

∂

= r × f~ = [r, f~].

∂x

∂y

∂z

fx

fy

fz

направлению от скалярной функции

∂ϕ

По аналогии с производной

по

вводится понятие производной по направлению единичного вектора ~e

∂~e

~

от векторной функции f(x, y, z):

~

∂f

~

~

~

~

∂~e

= (~e, r)f

= i(~e, grad fx) + j(~e, grad fy) + k(~e, grad fz) =

∂fx ~

∂fy ~

∂fz ~

=

i +

j +

k.

∂~e

∂~e

∂~e

С помощью оператора Гамильтона удобно выполнять дифференциаль-

ные операции векторного анализа над сложными выражениями.

Пример 5.1. Найти градиент произведения двух скалярных функций.

Имеем:

grad(ϕg) = r(ϕg) = r(ϕ g) + r(ϕ g)

( указывает функцию, на которую “действует” оператор). Но

r(ϕ g) = grϕ = g grad u,

r(ϕ g) = ϕrg = ϕ grad g.

Таким образом, grad(ϕg) = g grad ϕ + ϕ grad g.

~

Пример 5.2. Найти rot[f,~c ], где ~c – постоянный вектор.

По известной формуле векторной алгебры h~a, [~b,~c ]i = (~a,~c )~b −(~a,~b )~c,

~0, имеем rot[f~,~c ]

hr, [f~,~c ]i

учитывая соотношение r, [f~,~c ]

=

=

=

= r, [f~,~c ]

+ r, [f~,~c ] = (r,~c ) f~ ) − (r, f~ )~c. Но (r,~c ) f~ = (~c, r) f~.

~

~

~

~

~

Далее, (r, f)~c = ~c(r, f) = ~c div f. Таким образом, rot[f,~c ] = (~c, r)f−

~

−~c div f.

Можно образовать 5 дифференциальных операций второго порядка:

1) div grad ϕ = (r, r)ϕ = r2ϕ =

ϕ (лапласиан функции ϕ);

2)

rot

~

r r ~; 3)

~

r r

~

; 4)

r [r

~

] ;

grad ϕ = [ , ]ϕ grad div f =

(

, f )

div rot f = ,

, f

5)

rot rot f =

r, [r, f ] .

r

2

того, операцию

2 ~

Кроме

h

i

~

~

~

~

~

~

5.1. div(ϕf ) = ϕ div f + f grad ϕ.

5.2. div[f, ~g ] = ~g rot f

− f rot ~g.

~

~

~

~

~

~

5.3. rot(ϕf ) = ϕ rot f + [grad ϕ, f ].

5.4. grad([f, ~g ]) = (f, r)~g + (~g, r)f+

~

~

~

~

~

~

~

+[f, rot ~g ] + [~g, rot f ].

5.5. rot[f, ~g ] = (f, r)~g + (~g, r)f + f div ~g −~g div f.

~

~

~

5.6. rot rot f = grad div f −

f.

~

R

3

→ R

3

– о векторном поле.

f :

~

~

~

~

Определение 5.1 [1]. Векторное поле f

= fxi

+ fyj

+ fzk называ-

~

(5.1)

f = grad ϕ.

то

~

~

(5.2)

rot f = 0.

P

ϕ(P ) = ϕ(P0) + Z (f~, dl~).

(5.3)

P0

~

В физических задачах чаще всего вектор f является силой, при этом

говорят о силовом поле. В этом случае интеграл

Z

(f~, dl~) называется

потенциалов конечной и начальной точек.

2

2~

~

~

−

~

Пример 5.3. Найти потенциал поля f = 2xyi + (x

2yz)j

− y k.

Убедимся сначала, что поле потенциально:

∂fz

∂fy

= −2y,

∂fx

∂fz

∂fy

∂fx

=

=

= 0,

=

= 2x.

∂y

∂z

∂z

∂x

∂x

∂y

~

~

Следовательно, rot f

≡ 0. За путь интегрирования примем ломаную 0ABP ,

где 0(0, 0, 0), A(X, 0, 0), B(X, Y, 0), P (X, Y, Z). Находим:

Z

A

B

P

ϕ(X, Y, Z) =

(f~, dl~) + c = Z (f~, dl~) + Z (f~, dl~) + Z (f~, dl~) + C,

0ABP

0

A

B

~

~

2

2

(f, dl ) = 2xy dx + (x

− 2yz)dy − y

dz.

A

Так как на 0A имеем y = z = 0, dy = dz = 0, следовательно, Z0

(f~, dl~) = 0.

~ ~

2

2

Y.

(f, dl ) = X

dy = X

A

0

~ ~

Y

2

dz = −Y

2

Z.

(f, dl ) = −

B

0

~

2

y − y

3 ~

3

3

~

5.7. f = (3x

)i + (x

− 3xy )j.

~

~

~

sin(2x) cos(2y)i + cos(2x) sin(2y)j

5.8. f =

.

~

pcos ~

sin

2 y

+

x2

2

~

2 ~

2 x

sin2 x cos2 y

5.9. f = (yz − xy)i + xz −

+ yz j + (xy + y z)k.

2

5.10. f~ =

z

− x2

~i + x

− y2

~j +

y − z2

~k.

1

y

1

z

1

x

5.11. f~ =

y2

−z2 −

2x3

~i+ x2

−z2

−2y3

~j+ x2 + y2

+

2z3

~k.

z

y

yz

z

x

xz

y

x

xy

~

m

5.12. Найти потенциал гравитационного поля f

= −

r

3

~r, создавае-

мого массой m, помещенной в начале координат.

k k

Ответы:

5.7. ϕ(x, y) = x3y − xy3 + c.

5.8.

(

) = 2p

cos

x2y

y2z2

.

ϕ

x, y

2 x sin2 y + sin2 x cos2 y + c

5.9. ϕ(x, y, z) = xyz −

+

+ c.

2

2

5.10. ϕ(x, y, z) =

y

+

z

+

x

+ c.

z

x

y

xy

yz

xz

5.11. ϕ(x, y, z) =

+

−

+ c.

x2

y2

z2

~

~

~

ле ~v = vxi + vyj + vzk называется соленоидальным в области Ω, если

div ~v = 0

(5.4)

Определение 5.3 [1]. Если для поля ~v

существует такая непре-

~

рывно дифференцируемая функция A, что

~

(5.5)

rot A = ~v

rot f~ =

∂yz

−

∂zy ~i +

∂zx

−

∂xz

~j +

∂xy

−

∂yx

~k.

∂f

∂f

∂f

∂f

∂f

∂f

∂

∂f

∂f

∂

∂f

∂f

∂

∂f

∂f

div rot f~

=

z

−

y

+

x

−

z

+

y

−

x

≡ 0.

∂x

∂y

∂z

∂y

∂z

∂x

∂z

∂x

∂y

Упражнения. Проверить соленоидальность следующих полей:

~

2

3

~

3

2

~

~

2~

2 ~

2

2

~

5.13. f = (x

y + y )i + (x

−xy )j. 5.14. f = xy i + x yj

−(x

+ y

)zk.

x

y

(x + y) ln z

~

~

(x

2

2

~

f~ =

~i +

~j

~k

f~ =

xi − yj

+

− y

)zk

5.15.

−

. 5.16.

(x2

+ y2)3/2 .

yz

xz

xy

px2 + y2

Напомним, что для

дифференцируемого скалярного поля f : R3

→

R

3

в том случае, когда положение точки в R

описывается декартовыми ко-

ординатами, вектор grad f определяется равенством

∂f

~

∂f

~

∂f

~

grad f = ∂x i +

∂y j + ∂z k.

1

∂x

∂y

∂z

T

ординатный ортогональный базис {~eξ, ~eη, ~eζ }, где ~eξ =

,

,

;

Hξ

∂ξ

∂ξ

∂ξ

1

∂x

∂y

∂z

T

1

∂x

∂y

∂z

T

~eη =

,

,

; ~eζ =

,

,

– представления базисных

Hη

∂η

∂η

∂η

Hζ

∂ζ

∂ζ

∂ζ

~ ~ ~

1

∂f

1

∂f

1

∂f

grad f =

~eξ +

~eη +

~eζ .

Hξ

∂ξ

Hη

∂η

Hζ ∂ζ

В частности, в цилиндрической системе координат

∂f

1 ∂f

∂f

grad f =

~eρ +

~eϕ +

~ez,

∂ρ

ρ

∂ϕ

∂z

а для сферической системы координат

∂f

1

∂f

1

∂f

grad f =

~eρ +

~eϕ +

~eθ.

∂ρ

ρ sin θ

∂ϕ

ρ

∂θ

тогональных координатах:

div f~ =

1

∂

∂

∂

(HξHηfζ ) .

(HηHζ fξ) +

(HξHζ fη) +

HξHηHζ

∂ξ

∂η

∂ζ

В частности, для цилиндрической системы координат

1 ∂

∂fϕ

∂

1 ∂

1 ∂fϕ

∂fz

div f~ =

(ρfρ) +

+

(ρfz) =

(ρfρ) +

+

,

ρ

∂ρ

∂ϕ

∂z

ρ

∂ρ

ρ ∂ϕ

∂z

а для сферической системы координат

div f~ =

1

∂

(ρ2 sin θfρ) +

∂

(ρfϕ) +

∂

(ρ sin θfθ) =

ρ2 sin θ

∂ρ

∂ϕ

∂θ

=

1

∂

(ρ2fρ) +

1

∂fϕ

+

1

∂

(sin θfθ) ,

ρ2

∂ρ

ρ sin θ ∂ϕ

ρ sin θ ∂θ

так как Hρ = 1, Hϕ = ρ sin θ, Hθ = ρ.