физика лаб / экз / мой билет и ост / Магнетизм_4 (1)

Электромагнитная индукция

Открытие электромагнитной индукции М Фарадеем в 1831 г. было одним из наиболее фундаментальных открытий в электродинамике. Фарадей обнаружил, что в замкнутом проводящем контуре при изменении потока магнитной индукции через поверхность, ограниченную этим контуром, возникает электрический ток. Это явление называют электромагнитной индукцией, а возникающий ток ― индукционным.

Возбуждение электрического тока при движении проводника в магнитном поле объясняется действием силы Лоренца, возникающей при движении проводника. Рассмотрим простейший случай (рис. 4. 1). Слева провода ВС и АD замкнуты, справа ― разомкнуты. Вдоль проводов может свободно скользить проводящая перемычка СD. Когда перемычка движется вправо со скоростью v, вместе с ней движутся электроны и положительные ионы. На каждый движущийся заряд e в магнитном поле действует сила . В результате электроны начнут перемещаться по перемычке вверх, т. е. по ней потечёт ток, направленный вниз. Это и есть индукционный ток. Перераспределившиеся заряды создадут электрическое поле, которое возбудит ток I и в остальных участках контура ABCD.

Сила Лоренца F_M играет роль сторонней силы, возбуждающей электрический ток. Соответствующая напряжённость сторонней силы равна . Электродвижущая сила, создаваемая этим полем, называется э. д. с. индукции и будет обозначаться Е_i. В рассматриваемом случае , где l ― длина перемычки. Знак минус поставлен потому, стороннее поле направлено против положительного обхода контура, определяемого вектором В по правилу правого винта (пунктирные линии - - - на рис. 4. 1). Величина lv есть приращение площади контура ABCD в единицу времени, или скорость приращения этой площади. Потому величина lvB равна dΦ/dt, т. е. cкорости приращения магнитного потока, пронизывающего площадь контура ABCD. Таким образом,

(4.1)

Результат (4.1) справедлив и в том случае, когда однородное магнитное поле В направлено под любым углом к плоскости ABCD. Ток вызывается только нормальной составляющей В_n, а потому Е_i определяется прежней формулой (4.1).

Единицей потока магнитной индукции в СИ служит вебер (Вб), который представляет собой поток через поверхность в 1 м², пересекаемую нормальными к ней линиями магнитного поля с В, равной 1 Тл. При скорости изменения магнитного потока, равной 1 Вб/с, в контуре индуцируется э. д. с., равная 1 В.

Для возбуждения индукционного тока существенно изменение магнитного потока через контур проводника, а не способ, каким это изменение достигается.

Таким образом, всякий раз, когда меняется магнитный поток, пронизывающий контур неподвижного или движущегося замкнутого провода, в проводе возникает индукционный ток, причём во всех случаях э. д. с. индукции определяется формулой (4.1).

Пусть контур, в котором индуцируется э. д. с.,. состоит не из одного витка, а из N витков, например, представляет собой соленоид. Поскольку витки соединены последовательно, Е_i будет равна сумме э. д. с., индуцируемых в каждом из витков в отдельности:

Величину

(4.2)

называют потокосцеплением или полным магнитным потоком. Её измеряют в тех же единицах, что и Φ. Если поток, пронизывающий каждый из витков, одинаков,

(4.3)

Э. д. с., индуцируемая в сложном контуре, определяется формулой

(4.4)

Правило Ленца. Токи Фуко

Формула (4.1) определяет не только величину, но и направление индукционного тока. Возьмём в магнитном поле замкнутый проволочный виток, положительное направление обхода которого составляет с направлением поля правовинтовую систему (пунктирные линии - - - на рис. 4. 1). Допустим, что магнитный поток через контур ABCD возрастает. Тогда, согласно (4.1), величина Е_i будет отрицательной, а потому ток I в витке потечёт в отрицательном направлении (стрелки ← на рис. 4. 1). Пусть теперь поток через контур ABCD уменьшается. Тогда величина Е_i станет положительной, и индукционный ток в витке потечёт в положительном направлении (→) и будет препятствовать убыванию магнитного потока.

Таким образом, индукционный ток всегда имеет такое направление, что он ослабляет действие причины, возбуждающей этот ток ― правило Ленца (1833 г.)

В массивных проводниках, движущихся в магнитных полях или помещённых в переменное магнитное поле, возбуждаются вихревые индукционные токи, называемые токами Фуко. С помощью токов Фуко очень эффектно демонстрируется правило Ленца. Возьмём маятник, изготовленный из толстой листовой меди и имеющий форму усечённого конуса (рис. 4. 2). Маятник подвешен на стержне и может свободно колебаться вокруг горизонтальной оси между полюсами сильного электромагнита, создающего поле В ~ 0,5 Тл. Пока не включено магнитное поле, маятник колеблется почти без затухания. Замыкая ток в обмотке электромагнита, мы создаём магнитное поле. Тогда при колебаниях маятника возбуждаются индукционные токи Фуко, согласно правилу Ленца, тормозящие движение маятника. Колебания последнего моментально прекратятся. Если сплошной сектор маятника заменить гребёнкой с длинными зубцами (рис. 4. 3), то возбуждение токов Фуко будет сильно затруднено. Маятник будет колебаться в магнитном поле почти без затухания.

Этот опыт объясняет, почему сердечники электромагнитов и рамы трансформаторов делают не из сплошного куска железа, а из тонких кусков, наложенных и изолированных друг от друга. В результате токи Фуко возбуждаются слабо, и сильно уменьшается вредное влияние джоулева тепла, выделяемого ими.

Тепловое действие токов Фуко используется в индукционных печах. Такая печь представляет собой катушку, питаемую высокочастотным током большой силы. Если поместить внутрь катушки проводящее тело, в нём возникнут интенсивные вихревые токи, которые могут разогреть тело до плавления. Таким образом осуществляется плавление металлов в вакууме, что позволяет получать материалы исключительно высокой чистоты.

Явление самоиндукции

Электрический ток, текущий в любом контуре, создаёт пронизывающий этот контур магнитный поток Ψ. При изменениях I изменяется также и Ψ, вследствие чего в контуре индуцируется э. д. с. Это явление называется самоиндукцией.

В соответствии с законом Био ― Савара магнитная индукция В пропорциональна силе тока, вызвавшее поле. Отсюда вытекает, что ток I в контуре и создаваемый им полный магнитный поток Ψ через контур пропорциональны друг другу:

(4.5)

Коэффициент пропорциональности L между силой тока и полным магнитным потоком называется индуктивностью контура.

Линейная зависимость Ψ от I наблюдается только в том случае, если магнитная проницаемость среды, которой окружён контур, не зависит от напряжённости поля Н, т. е. в отсутствии ферромагнетиков. В противном случае μ является сложной функцией от I (через Н), и, поскольку В = μ₀μН, зависимость Ψ от I также будет довольно сложной. Однако соотношение (4.5) распространяется и на этот случай, считая индуктивность L функцией от I. При неизменной силе тока I полный поток Ψ может изменяться за счёт изменений формы и размеров контура.

Из сказанного следует, что индуктивность L зависит от геометрии контура (т. е. его формы и размеров), а также от магнитных свойств (от μ) окружающей контур среды. Если контур жёсткий и поблизости нет ферромагнетиков, индуктивность L является постоянной величиной.

За единицу индуктивности в СИ принимается индуктивность такого проводника, у которого при силе тока в 1 А возникает сцепленный с ним поток Ψ, равный 1 Вб. Эту единицу называют генри (Гн).

При изменениях силы тока в контуре возникает э. д. с. самоиндукции Е_s, равная

(4.6)

Если при изменениях силы тока индуктивность остаётся постоянной (что возможно лишь при отсутствии ферромагнетиков), выражение для э. д. с. имеет вид

(4.7)

Знак минус в этой формуле обусловлен правилом Ленца, согласно которому индукционный ток направлен так, чтобы противодействовать причине, его вызывающей.

Соотношение (4.7) даёт возможность определить индуктивность как коэффициент пропорциональности между скоростью изменения силы тока в контуре и возникающей вследствие этого э. д. с. самоиндукции. Однако такое определение правомерно, лишь в случае, когда L = const. В присутствии ферромагнетиков L недеформируемого контура будет функцией от I (через Н); следовательно, dL/dt можно записать как (dL/dI)(dI/dt). Произведя такую подстановку в формуле (4.6), получим

(4.8)

Отсюда видно, что при наличии ферромагнетиков коэффициент пропорциональности между dI/dt и E_s отнюдь не равен L.

Индуктивность соленоида.

Вычислим индуктивность соленоида. Длину соленоида будем считать большой по сравнению с его диаметром и поэтому будем пренебрегать искажением поля вблизи концов соленоида. В этом предположении напряжённость поля во всех точках внутри соленоида можно считать одинаковой и имеющей величину

Здесь n ― число витков на единицу длины, N ― полное число витков, l ― длина соленоида. Если S ― площадь сечения соленоида, то магнитный поток через один виток

а полный поток через все N витков

Поэтому индуктивность длинного соленоида в воздухе

(4.9)

где V ― объём соленоида. Если длина соленоида невелика по сравнению с его диаметром, то формула (4.9) становится неточной. В этом случае вводят поправочный коэффициент, значение которого можно найти в справочниках по радиотехнике.

Формула (4.9) определяет и индуктивность замкнутой тороидальной катушки, если под l понимать длину тороида по средней линии.

Из (4.9) следует, что размерность μ₀ равна размерности индуктивности, делённой на размерность длины. В соответствии с этим μ₀ измеряется в генри на метр (Гн/м).

Индуктивность двухпроводной линии

П усть имеются два длинных параллельных провода, входящих в цепь тока (рис. 4. 4). Радиус каждого провода равен a, а расстояние между их осями b. Вычислим магнитный поток через площадь, ограниченную осями проводов, для отрезка линии длины l. Рассмотрим сначала поле одного левого провода. Для расчёта поля внутри провода в области 0 < x < a (заметим, что магнитное поле внутри провода отлично от нуля) воспользуемся теоремой о циркуляции вектора Н. В качестве контура интегрирования L возьмём окружность радиуса х. Имеем:

и поток через часть рассматриваемой площади, лежащей внутри провода, есть

Напряжённость поля в области x > a равна Н/(2πx), что даёт для потока через остальную часть площади:

Полный поток через рассматриваемую поверхность, создаваемый током, текущим по левому проводу, будет

Так как токи в обоих проводах направлены противоположно, то направления полей, создаваемых обоими проводами между их осями, одинаковы (см. рис. 4. 4). Поэтому полный поток, создаваемый обоими проводами, будет в два раза больше потока от одного провода:

Отсюда получаем формулу для индуктивности двухпроводной линии:

(4.10)

Обычно радиус проводов a очень мал по сравнению с расстоянием b между ними, и поэтому дробью ½ в скобках можно пренебречь по сравнению с ln(b/a).

Ток при замыкании и размыкании цепи

По правилу Ленца дополнительные токи, возникающие вследствие самоиндукции, всегда направлены так, чтобы противодействовать изменениям тока в цепи. Это приводит к тому, что установление тока при замыкании и убывание тока при размыкании цепи происходит не мгновенно, а постепенно.

Пусть цепь состоит из источника Е = const, катушки индуктивности и омического сопротивления (рис. 4. 5). Полную индуктивность цепи обозначим через L, а полное сопротивление ― через R. При замыкании ключа К ток не сразу достигает предельного значения Е/R, определяемого законом Ома, а нарастает постепенно. При этом возникает также магнитный поток, пронизывающий контур цепи. Возникает э. д. с. индукции Е_s и соответствующий ей индукционный ток. Этот ток называется экстратоком замыкания. Согласно правилу Ленца направление экстратока замыкания противоположно направлению основного тока.

Рассматриваем только переменные токи, которые меняются во времени сравнительно медленно. Тогда мгновенные значения токов во всех участках неразветвлённой цепи с высокой степенью точности одинаковы, а магнитные поля внутри проводов могут вычисляться по закону Био и Савара, как если бы токи были постоянными. Такие токи называются квазистационарными. Для них справедливы формулы Е_s = –dΦ/dt и Φ = LI. Сила тока определяется выражением

или

Это дифференциальное уравнение для квазистационарных токов. Если за время изменения тока провода не деформируются, то L = const, и мы приходим к неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка:

с начальным условием Это неоднородное уравнение можно свести к однородному:

Потенцируя, находим Из начального условия определяем Окончательно получаем

(4.11)

где ― постоянная, имеющая размерность времени. Она называется временем установления тока.

Полный ток состоит из двух слагаемых, из которых второе, т. е. определяет силу экстратока замыкания. При экстраток → 0, а полный ток I ― к своему предельному значению Е/R. Таким образом, окончательное значение тока устанавливается постепенно. Быстрота установления определяется временем τ: по истечении времени τ сила экстратока убывает в e раз.

Рассмотрим теперь процесс размыкания тока (рис. 4. 6) . Ключ К сначала замкнут. Общий ток I распределяется между параллельно включёнными индуктивностью L и омическим сопротивлением R. Если внутреннее сопротивление батареи пренебрежимо мало, то ток в катушке самоиндукции будет равен I₀ = Е/r, где r ― активное сопротивление катушки. После размыкания ключа К замкнутым останется только контур ABCD. Первоначальный ток, существовавший в катушке самоиндукции, обладал определённым запасом магнитной энергии, которая исчезает не сразу. Магнитное поле начнёт убывать. Это возбудит э. д. с. и индукционный ток в контуре ABCD. Такой ток называется экстратоком размыкания. На рис. 4. 6 его направление показано пунктирной линией. В катушке L экстраток течёт в том же направлении, что и первоначальный ток, в остальных участках контура ABCD ― в противоположном направлении. Если R ― общее сопротивление контура ABCD, то сила тока определится из уравнения

с начальным условием Решение уравнения имеет вид:

(4.12)

Э. д. с. индукции равна

(4.13)

Если R >> r, то Е_s может значительно превзойти э. д. с. батареи Е. В этом причина электрического пробоя, наблюдающегося иногда при выключении тока в цепях, содержащих большие индуктивности.

Взаимная индукция

Возьмём два контура 1 и 2, расположенные близко друг к другу (рис. 4. 7). Если в контуре 1 течёт ток I₁, он создаёт через контур 2 пропорциональный I₁ полный магнитный поток

(поле, создающее этот ток, изображено на рис. 4. 7 сплошными линиями). При изменениях тока I₁ в контуре 2 индуцируется э. д. с.

(предполагаем, что ферромагнетиков вблизи контуров нет).

Аналогично, при протекании в контуре 2 тока I₂ возникает сцепленный с контуром 1 поток

(поле, создающее этот поток, изображено пунктирными стрелками).

При изменениях тока I₂ в контуре 1 индуцируется э. д. с.

Контуры 1 и 2 называются связанными, а явление возникновения э. д. с. в одном из контуров при изменениях силы тока в другом называется взаимной индукцией.

Коэффициенты пропорциональности L₁₂ и L₂₁ называются взаимной индуктивностью контуров (или коэффициентами взаимной индукции). Соответствующий расчёт даёт, что в отсутствии ферромагнетиков, эти коэффициенты всегда равны друг другу (теорема взаимности):

(4.14)

Их величина зависит от формы, размеров и взаимного расположения контуров, а также от магнитной проницаемости окружающей контуры среды. Измеряется L₁₂ в тех же единицах, что и L.

Если L_ik зависят от токов (при наличии ферромагнетиков), то равенство L_ik = L_ki, вообще говоря, не соблюдается.

Рассмотрим пример вычисления коэффициента взаимной индукции. Пусть имеются две тороидальные катушки, содержащие N₁ и N₂ витков, навитые одна на другую на общий каркас. В этом случае все линии магнитной индукции, создаваемые одной катушкой, проходят и через вторую катушку. Напряжённость магнитного поля катушки 1 равна

Это поле создаёт сквозь один виток катушки 2 магнитный поток

где S ― площадь сечения катушек. Полный поток сквозь все N₂ витков катушки 2 есть

Откуда для коэффициента взаимной индукции получается выражение

(4.15)

Если вычислить магнитный поток, создаваемый катушкой 2 сквозь катушку 1, то получится:

Отсюда находим для коэффициента взаимной индукции L₂₁ прежнее выражение (4.15) в соответствии с формулой (4.14).

В том случае, когда внутри катушки имеется сердечник из вещества с магнитной проницаемостью μ, магнитный поток увеличивается в μ раз и коэффициент взаимной индукции будет в μ раз больше.

Энергия магнитного поля

Рассмотрим цепь, изображённую на рис. 4. 8. При замкнутом в положении 1 ключе в соленоиде установится ток I, который обусловит магнитное поле, сцепленное с витками соленоида. Если перевести ключ в положение 2, то через сопротивление R будет некоторое время течь постепенно убывающий ток, поддерживаемый возникающей в соленоиде э. д. с. самоиндукции. Работа, совершаемая этим током за время dt, равна

(4.16)

Если индуктивность соленоида не зависит от I (L = const), то dΦ = LdI, и выражение (4.16) примет вид: Проинтегрировав это выражение по току в пределах от I до нуля, получим работу, совершаемую в цепи за всё время, в течение которого происходит исчезновение магнитного поля:

(4.17)

Работа (4.17) идёт на приращение внутренней энергии сопротивления R, соленоида и соединительных проводов (на их нагревание). Совершение этой работы сопровождается исчезновением магнитного поля, которое первоначально существовало в окружающем соленоид пространстве. Поскольку никаких других изменений в окружающих электрическую цепь телах не происходит, остаётся заключить, что магнитное поле является носителем энергии, за счёт которой и совершается работа (4.17). Таким образом, мы приходим к выводу, что проводник с индуктивностью L, по которому протекает ток I, обладает энергией

(4.18)

которая локализована в возбуждаемом током магнитном поле.

Выражение (4.17) можно трактовать как работу, которую необходимо совершить против э. д. с. самоиндукции в процессе нарастания тока от 0 до I; работу, которая идёт на создание магнитного поля, обладающего энергией (4.18). Действительно, работа, совершаемая против э. д. с. самоиндукции равна

(4.19)

которая совпадает с (4.17).

Работа (4.19) совершается при установлении тока за счёт источника э. д. с. и идёт целиком на создание магнитного поля, сцепленного с витками соленоида. Выражение (4.19) не учитывает той работы, которую источник э. д. с. затрачивает в процессе установления тока на нагревание проводников.

Выразим энергию магнитного поля (4.18) через величины, характеризующие само поле. В случае очень длинного соленоида

или

Подставив эти выражения в (4.17), получим:

(4.20)

Магнитное поле бесконечно длинного соленоида однородно и отлично от нуля только внутри соленоида. Следовательно, энергия (4.20) локализована внутри соленоида и распределена по его объёму с постоянной плотностью w_H :

(4.21)

(Сравни с )

Зная плотность энергии в каждой точке, можно найти энергию поля в любом объёме V. Для этого нужно вычислить интеграл

(4.22)

Взаимная энергия двух токов.

Вычислим энергию магнитного поля, созданного двумя контурами с током. Рассмотрим самый простой случай двух тороидальных катушек, в которых магнитное поле однородно, находящихся в вакууме. Напряжённость суммарного поля внутри катушек

Выбор знака + или – зависит от того, одинаковы или противоположны направления токов в обеих катушках. В единице объёма этого поля заключена энергия μ₀Н²/2, а полная энергия, находящаяся во всём объёме поля , равна

Воспользовавшись выражениями для индуктивностей обеих катушек (4.9) и их коэффициента взаимной индукции (4.15), полученный результат можно представить в следующем виде: