физика лаб / экз / мой билет и ост / Магнетизм_5

Вывод граничных условий в случае переменных во времени полей практически не отличается от вывода граничных условий для векторов D и Е в электростатике и векторов H и В в магнитостатике [3. стр. 5, 6].

Поэтому напомним лишь результат для векторов В и H [3. стр. 6]: при переходе через границу раздела двух магнетиков нормальная составляющая вектора В и тангенциальная составляющая вектора Н изменяются непрерывно. Тангенциальная же составляющая вектора В и нормальная составляющая вектора Н при переходе через границу раздела претерпевают разрыв. Таким образом, при переходе через границу раздела двух сред вектор В ведёт себя аналогично вектору D, а вектор Н ― аналогично вектору Е.

Закон сохранения энергии в электромагнитном поле.

Вектор Пойнтинга.

Система уравнений (5.34) ― (5.37) должна быть дополнена соотношениями, выражающими закон сохранения энергии.

Умножим скалярно первое и второе уравнения Максвелла (5.34) и (5.35), соответственно на H и на Е, вычтем полученные соотношения друг из друга и затем воспользуемся векторным тождеством . Тогда получим

Проинтегрировав по объёму, предполагая уравнения состояния (5.42) линейными, а ε и μ ― не зависящими от времени, найдём

(5.43)

где интеграл по поверхности определяется по теореме Остроградского ― Гаусса. Нетрудно видеть, что левая часть равенства (5.43) представляет собой скорость изменения суммы энергий электрического и магнитного полей в том виде, какой они имеют в статическом случае [4. стр. 12]. Естественно и для быстропеременных полей энергию поля положить равной

(5.44)

Это выражение можно истолковать в том смысле, что энергия поля вполне определённым образом локализована в пространстве, причём объёмная плотность энергии в произвольном месте поля определяется выражением

Следовательно, уравнение (5.43) описывает изменение во времени энергии поля W, находящейся внутри объёма V, ограниченного некоторой неподвижной поверхностью S.

Первый член в правой части (5.43) преобразуем следующим образом. Запишем выражение для плотности тока в виде

(5.45)

где Е_ст ― напряжённость поля сторонних сил. Умножая (5.45) скалярно на j, получим

и, следовательно,

где

(5.46)

Величина Q совпадает с выражением для джоулева тепла, выделяемого токами проводимости в единицу времени, а Р равна работе, совершаемой сторонними электродвижущими силами в единицу времени над токами проводимости.

Таким образом, первый член правой части (5.43) представляет собой разность между мощностью джоулевых потерь и мощностью внешней электродвижущей силы. Второй член правой части соотношения (5.43) требует особого рассмотрения.

Введём обозначение

(5.47)

Вектор Π называется вектором Пойнтинга. Используя обозначения (5,44), (5.46), (5.47), перепишем уравнение (5.43) в виде

(5.48)

Исходя из представления о локализации электромагнитной энергии в пространстве, можно заключить, что электромагнитная энергия вытекает через поверхность S из рассматриваемого объёма V наружу и притом в количестве единиц энергии в секунду. Это утверждение носит название теоремы Пойнтинга.

Плотность потока энергии в каждой точке поля определяется вектором Пойнтинга (5.47). Направление вектора Π перпендикулярно Е и H и совпадает с направлением распространения электромагнитной энергии, а его величина равна энергии, переносимой в единицу времени через перпендикулярную Π единицу поверхности (т. е. вектор Пойнтинга в СИ измеряется в ).

Таким образом, уравнение (5.48) выражает собой закон сохранения энергии. Оно определяет полный баланс между энергией электромагнитного поля, тепловыми потерями, обусловленными сопротивлением проводников, энергией, совершаемой внешней электродвижущей силой, и потерями на излучение. Выражение для плотности энергий электростатического и магнитостатического полей остаются справедливыми и при произвольной скорости изменения полей. Единственным новым фактором, учёт которого необходим для написания закона сохранения энергии, оказывается предположение, что поле может переносить энергию внутрь рассматриваемого объёма или из него, при этом поток энергии равен поверхностному интегралу от вектора Пойнтинга.

Волновое уравнение

Уравнения Максвелла дают возможность представить эти распространяющиеся поля в более явном виде, если систему (5.34) ― (5.37) свести к двум линейным уравнениям в частных производных второго порядка.

Рассмотрим область, где отсутствуют сторонние токи и заряды j_ст = 0, ρ = 0. Будем считать, что ε и μ не зависят ни от времени, ни от координат и среда непроводящая (σ = 0) (однородный диэлектрик). Вычислим ротор обеих частей уравнения (5.34) и заменим в нём В на μ₀μ H. В результате получим

Подставим сюда rotH из уравнения (5.35):

(5.49)

Воспользуемся тождеством где ― оператор Лапласа, отнесённый к вектору, и тем, что , в области, где отсутствуют заряды. В результате уравнение (5.49) преобразуется к виду

(5.50)

в котором произведение констант свободного пространства μ₀ε₀ заменено постоянной 1/с².

Уравнение (5.50) называется волновым уравнением. Это уравнение описывает волны, распространяющиеся со скоростью .

Аналогичным образом получается уравнение для вектора H:

(5.51)

Экспериментальное измерение постоянной с показало, что она совпадает со скоростью света в вакууме. Используя этот результат, Максвелл развил свою электромагнитную теорию света, предсказывающую существование электромагнитных волн. Правильность его предсказания была экспериментально подтверждена в 1888 г. Г. Герцем.

16