физика лаб / экз / мой билет и ост / Магнетизм_5

Уравнения Максвелла

При наличии электрических зарядов в пространстве устанавливается возбуждённое состояние, которое называют электромагнитным полем. Его представляют двумя векторами Е и В, именуемыми напряжённостью электрического поля и магнитной индукцией.

Основные уравнения электромагнитного поля в неподвижных средах были установлены Максвеллом путём последовательного обобщения опытных фактов.

Фарадеевская и Максвелловская трактовка явления электромагнитной индукции.

Закон электромагнитной индукции, открытый Фарадеем [4], формулируется следующим образом: при всяком изменении магнитного потока Φ, пронизывающего контур неподвижного или движущегося проводника, в проводнике возникает индукционный ток, причём электродвижущая сила индукции Е_i определяется формулой:

(5.1)

где интегрирование может быть распространено по любой поверхности, опирающейся на контур проводника; В_n ― проекция вектора В на внешнюю нормаль n к поверхности S.

Согласно Фарадею электромагнитная индукция состоит в возбуждении электрического тока. Для её наблюдения необходимо наличие замкнутого проводника.

В соотношение (5.1) входит полный поток, пронизывающий данный контур. Этот поток может изменяться в силу нескольких причин, например, вследствие движения самого проводника или его части или изменения внешнего поля.

Когда проводник движется в постоянном магнитном поле, индукционный ток вызывается магнитной составляющей силы Лоренца [4]. Ответ на вопрос, почему возникает индукционный ток в неподвижном проводнике, находящемся в переменном магнитном поле, был дан Максвеллом.

Для случая неподвижных (относительно инерциальной системы, в которой производится измерение поля) проводников поверхность, по которой производится интегрирование в (5.1), может быть выбрана неподвижной, причём в этом случае дифференцирование по времени может быть выполнено под знаком интеграла:

(5.2)

Знак полной производной заменён знаком частной производной для того, чтобы отметить, что есть скорость изменения величины В в фиксированной точке пространства.

Цифра в […] означает номер лекции, отправленной вам ранее.

Из (5.2) следует, что при изменении магнитного поля в неподвижных проводниках возбуждается электрическое поле, циркуляция напряжённости которого по контуру проводника

(5.3)

Так как сопротивление проводника не содержится в (5.3), то естественно предположить, что (5.3) применимо к любому замкнутому контуру L вне зависимости от того, проходит ли этот контур по проводникам, по диэлектрикам или по вакууму и что отличие проводящего контура от непроводящего сказывается лишь в том, что в проводнике возбуждение поля ведёт к появлению электрического тока.

Итак, по Максвеллу явление электромагнитной индукции заключается в том, что всякое изменение магнитного поля во времени возбуждает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле, циркуляция вектора напряжённости которого по любому замкнутому контуру определяется выражением (5.3). Максвелловская формулировка закона электромагнитной индукции является более общей, чем формулировка Фарадея, и принадлежит к числу наиболее важных обобщений электродинамики.

Существенная особенность рассматриваемого явления заключается в том, что силовые линии электростатического поля всегда разомкнуты; они начинаются и заканчиваются на электрических зарядах, и в соответствии с этим напряжение по замкнутому контуру в электростатическом поле всегда равно нулю. По этой причине электростатическое поле не может поддерживать замкнутое движение зарядов и, следовательно, не может привести к возникновению электродвижущей силы. Напротив, электрическое поле, возникающее при электромагнитной индукции, имеет замкнутые силовые линии, т. е. представляет собой вихревое поле (рис. 5. 1). Показанное на рисунке направление Е соответствует возрастанию В. Такое поле вызывает в проводнике движение электронов по замкнутым траекториям и приводит к возникновению электродвижущей силы, при этом сторонними силами являются силы вихревого электрического поля.

Преобразуем (5.3), используя известную из векторного анализа теорему Стокса, согласно которой циркуляция произвольного вектора по замкнутому контуру равна потоку ротора вектора через поверхность, ограниченную данным контуром:

Это соотношение должно оставаться в силе при любом выборе контура L и натянутой на него поверхности S, что может иметь место лишь в том случае, если

(5.4)

Уравнение (5.4) ― дифференциальная форма закона электромагнитной индукции, представляет собой, как и эквивалентное ему интегральное соотношение (5.3), одно из основных уравнений электромагнитного поля.

Ток смещения

Исследование магнитных полей постоянных токов позволило сформулировать следующую теорему [2 стр.11]: циркуляция индукции магнитного поля постоянных токов в вакууме по всякому замкнутому контуру равна сумме токов, пронизывающих контур, умноженной на μ₀:

(5.5)

Причём токи I_k считаются положительными или отрицательными в зависимости от того, составляют ли их направления с направлением положительного обхода контура L право- или левовинтовую систему.

Если плотность тока j конечна, то , где S ― любая поверхность, натянутая на контур L, по которому вычисляется циркуляция. При этом формула (5.5) перейдёт в следующую:

(5.6)

которая на основании теоремы Стокса может быть преобразована в дифференциальную форму:

(5.7)

Но уравнение магнитного поля токов (5.7) при (ρ ― объёмная плотность электрического заряда) несовместимо с уравнением непрерывности, выражающим закон сохранения заряда:

(5.8)

Действительно, дивергенция ротора тождественно равна нулю ( ), тогда как, согласно уравнению (5.8), , вообще говоря, отлична от нуля. Отсюда следует, что уравнения (5.6) и (5.7) верны только для стационарных токов и для переменных токов нуждаются в обобщении.

Не сомневаясь в справедливости уравнения (5.8), выражающего закон сохранения электрического заряда, можно попытаться путём чисто формальных математических рассуждений определить простейший вид поправки, внесение которой в формулу (5.7) устранит указанное противоречие между этой формулой и формулой (5.8).

Допустим, что кроме токов проводимости, представляющих собой движение электрических зарядов по проводникам, могут существовать также и токи иного рода, которые Максвелл назвал токами смещения. Плотность полного тока равна сумме плотностей токов проводимости j и тока смещения j_см. Заменим в уравнении (5.7) ток проводимости полным током:

(5.9)

Иными словами предположим, что в магнитном отношении токи смещения эквивалентны токам проводимости, т. е. возбуждают магнитное поле по тем же законам, что и токи проводимости.

Взяв дивергенцию от обеих частей последнего уравнения, получим:

так что полный ток всегда соленоидален, т. е. линии полного тока не могут нигде ни начинаться, ни кончаться и должны быть замкнутыми либо уходить в бесконечность. Следовательно, там, где обрываются линии тока проводимости, к этим линиям должны непосредственно примыкать продолжающие их линии тока смещения. Далее, из последнего равенства на основании уравнения (5.8) следует:

(5.10)

Напомним формулировку электростатической теоремы Гаусса: В произвольном электростатическом поле (в вакууме) поток электрического вектора Е через произвольную замкнутую поверхность S равен величине заряда q, расположенного внутри этой поверхности, делённой на ε₀:

(5.11)

Под величиной заряда q понимается, конечно, алгебраическая сумма всех зарядов, находящихся внутри S.

Заряд q можно выразить через объёмную плотность электрического заряда ρ: , где интегрирование производится по объёму V, ограниченному поверхностью S. Тогда уравнение (5.11) запишется в виде . Далее, если воспользоваться известной из векторного анализа теоремой Остроградского ― Гаусса, устанавливающей связь между потоком произвольного вектора через замкнутую поверхность и объёмным интегралом дивергенции этого вектора, то (5.11) перейдёт в

(5.12)

Поскольку поверхность интегрирования S и ограниченный ею объём V выбраны произвольно, равенство (5.12) будет выполняться, если

(5.13)

В электростатике теорема Гаусса является не более как одним из следствий закона Кулона. Необходимо путём обобщения опытных фактов отыскать общие уравнения и законы, применимые не только в электростатике, но и во всей электродинамике. В качестве руководящего принципа при отыскании таких законов можно выставить требование, чтобы они были законами теории поля, исключающими мгновенное действие на расстоянии.

Естественно выдвинуть гипотезу, что теорема Гаусса верна не только в электростатике, но и в электродинамике, имеющей дело с переменными во времени электромагнитными полями. Вся совокупность опытных данных говорит в пользу этой гипотезы. Тем самым уравнения (5.11) и (5.13) перестают быть скромными следствиями закона Кулона, а возводятся в ранг основных постулатов электродинамики.

С помощью теоремы Гаусса в дифференциальной форме (5.13) соотношение (5.10) преобразуется к виду:

Самый простой, хотя и не единственный, способ удовлетворить этому равенству состоит в том, чтобы положить

(5.14)

Уравнение (5.9) примет вид:

(5.15)

и при совпадает с (5.7).

Итак, вводя чисто формальным образом гипотезу о существовании токов смещения, можно устранить противоречие между уравнениями (5.7) и (5.8), не внося при этом никаких видоизменений в законы стационарного электрического поля.

Опыт полностью подтверждает справедливость как этой гипотезы, так и уравнения (5.15), являющегося одним из основных уравнений электродинамики. Наиболее убедительным доказательством этого уравнения является сам факт распространения электромагнитных волн.

Чтобы уяснить физический смысл уравнений (5.14) и (5.15), рассмотрим случай, когла полный ток сводится к току смещения, т. е. когда ток проводимости равен нулю.

В этом случае уравнение (5.15) примет вид:

(5.16)

и вполне аналогично уравнению (5.4).

Из уравнения (5.16) следует, что подобно тому, как электрическое поле может возбуждаться не только электрическими зарядами, но и изменениями поля магнитного, так, в свою очередь, и магнитное поле может возбуждаться не только движениями зарядов (токи проводимости), но и изменениями поля электрического.

Отметим, что токи проводимости, с одной стороны, и токи смещения в вакууме, с другой стороны, несмотря на сходство названий, представляют собой, в сущности, совершенно различные физические понятия. Единственная их общая характеристика заключается в том, что они одинаковым образом входят в правую часть уравнения (5.15). Во всех же остальных отношениях эти токи резко отличаются друг от друга.

Самое существенное отличие заключается в том, что токи проводимости соответствуют движению электрических зарядов, тогда как «чистый» ток смещения ― ток смещения в вакууме ― соответствует лишь изменению электрического поля и движением электрических зарядов не сопровождается.

Система уравнений Максвелла в вакууме

Дополнив, таким образом, основные факты из области электромагнетизма установлением магнитных свойств токов смещения, Максвелл сформулировал систему фундаментальных уравнений электродинамики.

К основным уравнениям Максвелла принадлежат уравнения (5.4) и (5.15), к которым следует добавить уравнение непрерывности (5.8).

Из этих уравнений вытекают при некоторых добавочных предположениях два других уравнения, обыкновенно причисляемых к основным уравнениям поля. Так, образовав дивергенцию от обеих частей уравнения (5.4) и приняв во внимание, что , получим , откуда следует, что дивергенция вектора В зависит только от пространственных координат и не зависит от времени. В остальном же вид функции при решении системы уравнений (5.4) и (5.15) остаётся неопределённым, так что эта функция играет роль начальных условий интегрирования. Полагая, что во всех точках пространства, получим третье уравнение Максвелла:

отражающее факт отсутствия магнитных зарядов.

Аналогичным образом из (5.15) с учётом уравнения непрерывности (5.8) следует четвёртое уравнение Максвелла:

которое, как уже упоминалось, есть дифференциальная форма теоремы Гаусса, являющейся обобщением закона Кулона.

Таким образом, уравнения Максвелла для вакуума в дифференциальной форме имеют вид:

(5.17)

(5.18)

(5.19)

(5.20)

В интегральной форме:

(5.21)

(5.22)

(5.23)

(5.24)

Уравнения (5.21) ― (5.24) определяют не векторы Е и В в отдельных точках пространства, а некоторые интегральные величины, зависящие от распределения этих характеристик поля, ― циркуляцию векторов Е и В вдоль произвольных замкнутых контуров и потоки векторов Е и В через произвольные замкнутые поверхности.

Когда поля стационарны ( ), уравнения Максвелла распадаются на две группы независимых уравнений. Первую группы составляют уравнения электростатики:

вторую ― уравнения магнитостатики:

В этом случае электрическое и магнитное поля независимы друг от друга. Источником электрического поля будут только электрические заряды, источниками магнитного поля ― только токи проводимости.

Уравнения электродинамики в материальной среде

Опыт убеждает, что электромагнитное поле в материальной среде обнаруживает силовое действие на заряды, причём характер этого взаимодействия не меняется. Поэтому сохраняется определение силовых векторов Е и В.

Вопрос о том, каким уравнениям в материальной среде должны подчиняться Е и В, был проанализирован Лоренцем. Те соображения, которыми пользовался Лоренц, привели к правильным соотношениям и были возведены в постулаты, соответствующие опыту. К основным положениям теории Лоренца относятся следующие:

1. Электромагнитное поле описывается векторами Е и В.

2. Токи, которые возникают, когда вещество подвергается действию поля, могут быть разбиты на две группы:

а) сторонние (или внесённые) токи j_ст;

б) токи, индуцированные (или наведённые) полем в самой среде j_инд(Е, В). Индуцированные токи зависят от поля, существующего в среде, и этим принципиально отличаются от сторонних токов.

3. Векторы Е и В в материальной среде подчиняются уравнениям Максвелла в пустоте с той разницей, что вместо j надо рассматривать j = j_ст + j_инд(Е, В).

Уравнения электродинамики для материальной среды имею вид:

(5.25)

Весь процесс взаимодействия поля и вещества учитывается членом j_инд(Е, В). Никакие другие свойства вещества, кроме способности зарядов приходить в движение под действием поля, в электродинамике не рассматриваются. Уравнение, которому подчиняется функция j_инд(Е, В) называется электродинамическим уравнением состояния среды.

Перечислим, какие наведённые токи могут существовать в среде.

1. Токи проводимости, соответствующие движению свободных зарядов. Плотность токов проводимости в большинстве случаев определяется дифференциальной формой закона Ома: , где σ ― удельная электропроводность среды (σ = 1/ρ).

2. Поляризационные токи, обусловленные движением связанных зарядов, которые возникают при изменении поляризации со временем: (Р ― вектор поляризации). Производная представляет собой усреднённую по пространству и времени величину молекулярных токов при изменении поляризации.

3. Токи намагничения ― постоянные микроскопические токи, не поддающиеся макроскопическому наблюдению. Из-за неполной компенсации этих токов в атомном масштабе могут возникнуть суммарные поверхностные или объёмные токи. Плотность токов намагничения (молекулярных токов) j_м может быть выражена через вектор намагничения J: [3. стр. 2].

4. Конвективные токи, которые возникают при движении среды, содержащей заряды. Эти заряды могут быть как свободными, так и связанными.

Таким образом, в покоящейся среде плотность тока, наведённая полем в среде, может быть представлена в виде

(2.26)

Подставив (2,26) в уравнение (2.25), приходим к системе:

(5.27)

(5.28)

(5.29)

(5.30)

В уравнении (5.28) через j обозначен вектор плотности сторонних токов и токов проводимости, наведённых полем в среде: , поскольку и те и другие обусловлены движением свободных зарядов. В уравнении (5.30), следующем из (5.28) и закона сохранения заряда (5.8) ρ_полн ― полная плотность зарядов, складывающаяся из плотности свободных зарядов ρ и поляризационных зарядов .

Система уравнений (5.27) ― (5.30) и есть электродинамические уравнения Максвелла, записанные в виде, пригодном для покоящейся среды. Ограничение покоящимися средами обусловлено отсутствием конвективных токов, а также тем, что при выводе уравнения (5.27) пренебрегалось изменением магнитного потока из-за движения среды.

Удобно ввести дополнительные векторные поля D и H. Вектор электрической индукции D (термин, введённый ещё Максвеллом) вводится соотношением

(5.31)

Поле D представляет собой ту часть поля, которая создаётся свободными зарядами. Согласно (5.31), разность между D и ε₀Е есть поляризация Р. (Напомним, что вектор поляризации определяется как дипольный момент единицы объёма.) Поле поляризации создаётся только поляризационными зарядами. Решение конкретных задач, связанных с поляризующимися телами, зависит от того, каким образом поляризация зависит от внешнего поля Е. В случае среды с линейными параметрами

Коэффициент κ называется электрической восприимчивостью или поляризуемостью среды. Тогда

где ― диэлектрическая проницаемость среды.

Всякое вещество является магнетиком, т. е. способно под действием магнитного поля приобретать магнитный момент (намагничиваться). Намагничение магнетика естественно характеризовать магнитным моментом единицы объёма. Эту величину и называют намагниченностью или намагничением и обозначают буквой J.

Из полного магнитного поля можно выделить ту его часть, которая создаётся атомными токами намагничения (молекулярными токами), и ввести вектор напряжённости магнитного поля H:

(5.32)

После введения вектора H из уравнения (5.28) выпадают токи намагничения. В этом смысл введения вектора H. Вектор H играет в учении о магнетизме такую же вспомогательную роль, что и вектор D в учении о диэлектриках. Подчеркнём еще раз, что основным вектором является вектор В.

В силу исторических причин принято выражать вектор J не через В, а через H:

(5.33)

где χ ― магнитная восприимчивость.

Подставляя (5.33) в (5.32), находим связь между H и В:

и величина называется магнитной проницаемостью среды.

По характеру зависимости намагничения магнетиков от магнитного поля они могут быть разбиты на три класса. Для парамагнетиков χ > 0 и, следовательно, μ > 1. Для диамагнетиков χ < 0 и, следовательно, μ < 1. Парамагнетики намагничиваются по, а диамагнетики противоположно магнитному полю. Для слабомагнитных (неферромагнитных) веществ χ (и μ) не зависят от H. Для ферромагнетиков μ >> 1, причём зависимость между J и H является нелинейной, т. е. μ = μ (Н).

Тогда уравнения Максвелла принимают вид:

(5.34)

(5.35)

(5.36)

(5.37)

В интегральной форме:

(5.38)

(5.39)

(5.40)

(5.41)

Формально уравнения (5.38) ― (5.41) проще, чем уравнения (5.27) ― (5.30), однако с физической точки зрения они сложнее. Решение этих уравнений возможно только, если имеются дополнительные уравнения состояния, называемые материальными уравнениями, связывающие D и j с Е и H с В.

Уравнения состояния в общем случае очень сложны, так как векторы D, j и H в данной точке пространства в данный момент времени могут зависеть от полей Е и В во всех точках среды во все предшествующие моменты времени. Однако для большинства изотропных несегнетоэлектрических и неферромагнитных сред вплоть до весьма значительных полей материальные уравнения имеют простую линейную форму. Выпишем их ещё раз:

(5.42)

Такими материальными уравнениями пользовался сам Максвелл. Однако ε, μ и σ он рассматривал как постоянные, которые должны быть определены экспериментально. В электронной теории Лоренца они могут быть рассчитаны теоретически.

В заключение подчеркнём, что рассуждения, с помощью которых были получены уравнения Максвелла, ни в коей мере не могут служить их доказательством. Существенно новые принципы никогда не содержатся в старой теории и не могут быть выведены из неё логически. На них следует смотреть как на основные аксиомы электродинамики, полученные путём обобщения опытных данных.

Граничные условия на поверхностях раздела

Если электромагнитное поле рассматривается в двух (или более) граничащих средах с различными ε, μ и σ, то на поверхностях раздела векторы поля могут претерпевать разрывы (скачки), а величины ρ и j выродятся в соответствующие поверхностные величины. Соотношения, описывающие переход через поверхность раздела называются граничными условиями и содержатся в интегральной форме уравнений Максвелла (5.38) ― (5.41).