МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Санкт-Петербургский государственный
электротехнический университет
«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)
Кафедра Информатики
отчет
по лабораторной работе №1
по дисциплине «Информатика»
Тема: Операции с матрицами в системе Matlab
Студентка гр. 9491 |
|
Зубкова В.В |
Студент гр. 9491 |
|
Ярошук В.А |
Преподаватель |
|
Павлов С.М. |
Санкт-Петербург
2019
Содержание
Цель работы 3
Задания 3
Основные теоретические положения 3
Матрицы 3
Транспонированная матрица 3
Сложение матриц 3
Правое и левое деление матриц 4
Поэлементное возведение в степень 5
Определитель матрицы 5
Обратная матрица 5
Собственные числа матрицы 5
Векторы 6
Ход работы 6
Задание 1 6
Задание 2 8
Вывод 10
Цель работы
Практическое применение матриц и массивов для представления числовой информации, изучение и практическое использование операций с матрицами и массивами.
Задания
1.
Одним из описанных ранее способов
создать прямоугольные матрицы A
и B
размером
.
Выполнить с ними арифметические операции
(сложение, вычитание, умножение, деление,
возведение в степень): а) обращаясь к
элементам по индексу; б) операции с
матрицами; в) поэлементные операции.
2.
Одним из описанных ранее способов
создать квадратную матрицу D
размером
.
Вычислить для нее определитель, найти
обратную, собственные числа и векторы,
преобразовать
матрицы D
и A в
векторы и найти
разность.
Основные теоретические положения Матрицы
Матрицей
в математике называется двумерный
массив элементов
(чисел,
функций или иных величин, над которыми
можно производить алгебраические
операции), расположенных в виде
прямоугольной таблицы. Если таблица
имеет m строк и n столбцов, то говорят о
(m n)-матрице.
Для задания матрицы используется команда присваивания. Например, следующими командами формируются матрицы: »a = [1 2 1; 4 5 4] – матрица размера 2 3 с соответствующими элементами.
a =
1 2 1
4 5 4
Транспонированная матрица
Перестановка в матрице строк со столбцами даст транспонированную матрицу A', или AT.
Пусть
»a
= [5 6 4;7 10 5] - матрица размера
с соответствующими элементами;
Тогда »a’– транспонированная матрица.
ans =
5 7
6 10
4 5
Сложение матриц
Сумма определяется для прямоугольных матриц одинакового строения, и элементы суммы равны суммам соответствующих слагаемых, т. е.
Пусть »a = [1 2 3;2 3 1;3 1 2] - матрица размера с соответствующими элементами;
»b
= [4 5 6;5 6 4;6 4 3] - матрица размера
с соответствующими элементами;
Тогда »a+b – сумма соответствующих матриц.
ans =
5 7 9
7 9 5
9 5 5
»a-b – разность соответствующих матриц.
ans =
-3 -3 -3
-3 -3 -3
-3 -3 -1
Произведение матриц
Умножение
определяется только для таких прямоугольных
матриц, у которых число столбцов первого
множителя равно числу строк второго.
Произведением (m р)-матрицы
А
на (р n)-матрицу
В
будет (m n)-матрица
С
с элементами:
.
Пусть »a = [1 2 3;2 3 1;3 1 2] - матрица размера с соответствующими элементами;
»b = [4 5 6;5 6 4;6 4 3] - матрица размера с соответствующими элементами;
Тогда »a*b - произведение соответствующих матриц.
ans =
32 29 23
29 32 27
29 29 28
Правое и левое деление матриц
Различают правое (справа налево) и левое (слева направо) деление:
»a./b - деление справа соответствующих матриц.
ans =
0.2500 0.4000 0.5000
0.4000 0.5000 0.2500
0.5000 0.2500 0.6667
»a.\b - деление слева соответствующих матриц.
ans =
4.0000 2.5000 2.0000
2.5000 2.0000 4.0000
2.0000 4.0000 1.5000
Поэлементное возведение в степень
Пусть »a = [1 2 3;2 3 1;3 1 2] - матрица размера с соответствующими элементами;
Тогда »a.^2 – поэлементное возведение в степень матрицы с соответствующими элементами.
ans =
1 4 9
4 9 1
9 1 4
Система Matlab в режиме прямых вычислений над векторами и матрицами наряду с обычными арифметическими и алгебраическими действиями выполняет такие операции, как инвертирование матрицы, вычисление ее собственных значений и векторов, решение систем линейных уравнений, вывод графиков двумерных и трехмерных функций и многое другое.
Определитель матрицы
Определитель
квадратной матрицы А
обозначается
или det A.
Пусть »A = [4 6 7; 11 1 9; 2 2 2] - матрица размера с соответствующими элементами;
Тогда »det(A) – определитель соответствующей матрицы.
ans =
52.0000
Обратная матрица
Матрица
называется обратной
к квадратной матрице А,
если A
=E,
при этом
.
Пусть »A = [4 6 7; 11 1 9; 2 2 2] - матрица размера с соответствующими элементами;
Тогда »inv(A) – обратная матрица соответствующей матрицы.
ans =
-0.3077 0.0385 0.9038
-0.0769 -0.1154 0.7885
0.3846 0.0769 -1.1923
Собственные числа матрицы
Пусть »B = [5 6 4;7 10 5; 3 6 9] - матрица размера с соответствующими элементами;
Тогда »eig(B) - собственные числа соответствующей матрицы.
ans =
18.7965
0.7104
4.4931
Векторы
Одномерный массив называют вектором. Матрица, состоящая из одной строки, называется вектором-строкой, из одного столбца – вектором-столбцом.
Тогда »b = [7 8 9] - вектор-строка; »c = [2; 2; 3.5] – вектор-столбец
Массив формируется прямым (построчным) перечислением его элементов или заданием диапазона значений в формате [нач.знач. : шаг : кон.знач.] с указанным или единичным (по умолчанию) шагом – [1:2:7], [4:7], [ [1:2:7]; [4:7].
Массивы хранятся в памяти по столбцам, поэтому с многомерным массивом можно работать как с одномерным, например: A(:) – вектор-столбец из всех элементов массива А; A(13:17) – столбец из элементов с номерами от 13 до 17.