ТОЭ 4 сем / ТОЭ ЛАБ / 3 / лаб3 Ярошук Владислав гр.9491

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра ТОЭ

отчет

по лабораторной работе №3

по дисциплине «Теоретические основы электротехники»

Тема: исследование свободных процессов

в электрических цепях

Студент гр. 9491	__________________________	Ярошук В. А.
Преподаватель		Гарчук А. А.

Санкт-Петербург

2021

Цель: изучение связи между видом свободного процесса в электрической цепи и расположением собственных частот (корней характеристического полинома) на комплексной плоскости; экспериментальное определение собственных частот и добротности -контура по осциллограммам.

Основные теоретические положения.

В работе предлагается исследовать свободные процессы в цепях, схемы которых представлены на рис. 3.1 и рис. 3.2. Цепи возбуждаются очень короткими импульсами тока , заряжающими емкость . В паузах между импульсами емкость разряжается, цепь находится в свободном режиме, так как в это время источник возбуждения отключен ( ).

а б

Рис. 3.1

Рис. 3.2

В линейных цепях свободный процесс описывается однородными линейными дифференциальными уравнениями и его вид определяется корнями характеристического уравнения (собственными частотами цепи ). При возбуждении цепи источником тока собственные частоты можно рассчитать как нули входной проводимости цепи :

а) для цепи первого порядка, представленной на рис. 3.1,а , откуда

; (3.1)

б) для цепи второго порядка, представленной на рис. 3.1, б , откуда

, , ; (3.2)

в) для цепи третьего порядка, представленной на рис. 3.2 откуда

, , .(3.3)

Общий вид решения для напряжения любого элемента цепи

,

где – постоянные интегрирования, – порядок цепи.У цепи первого порядка одна собственная частота (3.1), вещественная и отрицательная, свободный экспоненциальный процесс имеет вид

(3.4)

где – постоянная затухания, – постоянная времени экспоненты. Временная диаграмма свободного процесса показана на рис. 3.3, а, причем – интервал времени, соответствующий любой подкасательной к экспоненте.

В цепи второго порядка две собственные частоты (3.2) могут быть разными вещественными различными (апериодический режим; временная диаграмма суммы двух экспонент, изображенных пунктиром, показана на рис. 3.3, б), кратными вещественными (критический режим) или комплексно-сопряженными (колебательный режим). Вид критического процесса близок к диаграмме, показанной на рис. 3.3, б, причем момент достижения максимума , если . Комплексно-сопряженным частотам соответствует качественно новый характер свободного процесса – колебательный:

, (3.5)

где – постоянная затухания, – частота затухающих колебаний ( ). Временная диаграмма колебательного процесса представлена на рис. 3.3, в.

Дальнейшее увеличение порядка цепи к качественно новым явлениям не приводит. Так, согласно (3.3), в схеме, изображенной на рис.3.2, собственные частоты могут быть либо три вещественные, либо одна вещественная и две комплексно-сопряженные, например, и . Временная диаграмма свободного процесса представлена на рис. 3.3, г – это сумма экспоненты (см. пунктир) и затухающей синусоиды.В некоторых случаях собственные частоты относительно просто рассчитываются по осциллограммам. Например, согласно (3.4) по рис. 3.3, а можно рассчитать постоянную затухания

(3.6) Для случая рис. 3.3, в постоянная затухания также может быть определена на основании (3.6), но при этом обязательно выполнение условия , что вытекает из (3.5).

а б

в г

Рис. 3.3

В случаях рис. 3.3, б,г найти собственные частоты можно лишь приближенно, выделив, как показано пунктиром, отдельные составляющие процесса.

Особый интерес для контуров представляет определение добротности по виду свободного процесса в них. Так для последовательного контура добротность определяется выражением

(3.7)

где – частота незатухающих колебаний в идеальном контуре ( ). Согласно (3.2) собственные частоты последовательного контура можно записать следующим образом:

, (3.8)

причем соответствует апериодический режим, – критический режим, – колебательный режим, а –незатухающий колебательный режим.

При с высокой степенью точности можно считать

(3.9)

С учетом (3.6) формула, позволяющая в этом случае определить добротность по осциллограмме рис. 3.3, в, имеет вид

(3.10)

Для повышения точности можно брать отношения напряжений за периодов колебаний:

(3.11 )

Обработка результатов эксперимента.

1. Исследование свободных процессов в цепи первого порядка.

Исходная цепь:

Найдём собственную частоту:

Найденная частота соответствует практической с высокой точностью.

В общем виде:

2. Исследование свободных процессов в цепи второго порядка.

1. Колебательный режим.

Исходная цепь:

Найдём собственные частоты:

Найдём добротность

Q > 0.5 – что соответствует колебательный режим

В общем виде:

2) Апериодеский режим:

Найдём собственные частоты:

В общем виде:

Найдём добротность

< 0.5, что соответствует апериодическому режиму.

3. Критический режим

Найдём собственные частоты, используя схему:

В общем виде:

3. Свободный колебательный режим:

Найдём собственные частоты:

Найдём добротность:

В общем виде:

4. Исследование свободных процессов в цепи третьего порядка.

Исходная цепь:

Найдём собственные частоты, используя схему:

В общем виде:

Вывод:

Форма реакции цепи зависит от вида собственных частот, если вещественные – апериодический режим, если комплексно-сопряженные – периодический режим, если кратные – критический апериодический режим. Результаты аналитических расчетов не совпадают с данными осциллографом, так как цепь не идельна.

Ответы на вопросы:

1. Каким аналитическим выражением описывается переходный процесс в цепи первого порядка? 𝑢(𝑡) = 𝐴∗𝑒−𝛼𝑡=𝐴∗𝑒−𝑡𝜏

2. Как по осциллограмме определить собственную частоту цепи первого порядка? Соответствует ли она теоретическому расчету по (3.1)?

Собственную частоту цепи по осциллограмме можно определить рассчитав постоянную затухания: α=1τ=(ln𝑈1𝑈2)∆𝑡⁄

Значение полученное таким образом отличается от теоретического расчёта на 6%.

3. Какими аналитическими выражениями (в общем виде) описываются графики процессов во всех исследуемых цепях второго порядка? Как определить по осциллограмме, снятой при R1 = 0,5 кОм, собственные частоты цепи второго порядка?

1) 𝑢(𝑡)=𝐴1𝑒𝑝1𝑡+𝐴2𝑒𝑝2𝑡

2) При ∆𝑡 = 𝑇=2𝜋𝜔, можно воспользоваться способом который мы использовали для цепи первого порядка.

4. Каким аналитическим выражением описывается полученный график свободного процесса в цепи третьего порядка?

𝑈(𝑡)=𝐴1𝑒𝑝1𝑡+𝐴2𝑒𝑅𝑒(𝑝2,3)𝑡cos(𝐼𝑚(𝑝2,3)𝑡+𝛽)+𝐴3𝑒𝑅𝑒(𝑝2,3)𝑡sin(𝐼𝑚(𝑝2,3)𝑡+𝛽)

5. Каковы теоретические значения собственных частот цепи третьего порядка? Соответствует ли им осциллограмма и почему?

p1=−10000; p2=−25000±𝑗∙61441

Да, соответствует, по осцилограмме видно, что это сумма экспоненты и затухающей синусоиды.

Протокол

Исходная цепь:

Исходная цепь: