КР1_2 В4 / ДМ_КР_1
.pdfБЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра программного обеспечения информационных технологий
Факультет ФКСиС Специальность ПОИТ
Контрольная работа №1
по дисциплине «Дискретная математика»
Вариант 4
Выполнил студент: Бордон Е.С. группа 991051 Зачетная книжка № 99105004
Минск 2020
Задание 1.
Дан универсум U={x | x – целое, 0 ≤ x ≤ 9} и множества A, B, C, D из U, заданные описанием или перечислением своих элементов (Таблица 1). Выяснить, из каких элементов состоят множества B и D, а также множество M U, заданное так, как указано в Таблице 2.
Таблица 1.
№ |
|
A |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
{7, 0, 4, 3, 6, 8} |
|
|
{x | x=2(k-2), k=2,3,5} |
4 |
|
C |
|
|
D |
|
|
{0, 3, 4, 2, 8, 5} |
|
|
{x | x2-4=0 или x2=1} |
Таблица 2. |
|
|
|
|
|
№ |
|
Условия, определяющие множество М |
|||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|M|=2, M A, |
|
|
|
|
B C D∩M≠ , 4 M |
||||
|
|
|
|
|
|
Решение:
Задание 2.
Упростить выражение, заданное в Таблице 3, символьными преобразованиями (с помощью свойств операций над множествами) и проверить правильность полученного результата с помощью диаграмм Эйлера.
Таблица 3.
4 |
(A ∩ |
|
B ∩ (C A)) ∩ ( A ∩ B A\B |
|
B\A C\B\A ) |
C |
A C |
1x: C |
|
|
2x: C A |
|
|
3х: B (C A) |
|
|
А |
B |
U |
А |
B |
U |
А |
B |
U |
|
|
|
||||||
|
С |
|
С |
|
|
С |
|
|
4х: А С |
|
|
5х: A C B (C A)) |
1,2у: A С |
|
|
||
А |
B |
U |
А |
B |
U |
А |
B |
U |
|
|
|
||||||
|
С |
|
С |
|
|
С |
|
|
3у: А\В |
|
|
4у: В\А |
|
|
5,6у: С\В\А |
|
|
А |
B |
U |
А |
B |
U |
А |
B |
U |
|
|
|
||||||
|
С |
|
С |
|
|
С |
|
|
7у: А В |
|
|
8у: (A B) (A\B) |
|
9у: 8у (А С) |
|
||
А |
B |
U |
А |
B |
U |
А |
B |
U |
|
|
|
||||||
|
С |
|
С |
|
|
С |
|
|
10у: 9у (В\А) |
|
11у: 10у (С\B\A) |
|
Итог 5х 11у |
|
|
||
А |
B |
U |
А |
B |
U |
А |
B |
U |
|
|
|
||||||
|
С |
|
С |
|
|
С |
|
|
Проверка: 1 - (С В) |
2 - А (С В) |
|
|
3 - A (С В) (В С) |
||||
А |
B |
U |
А |
B |
U |
А |
B |
U |
|
|
|
||||||
|
С |
|
С |
|
|
С |
|
|
Задание 3.
Даны множества X = Y = {1,2,3,4,5} и соответствия Qi X х Y, i=1,2,3,4 (см.Таблицу 4). Определить, каким является каждое из соответствий Qi (i=1,…,4) (всюду определенное, сюръективное, функциональное, инъективное, биективное). Затем для каждого из соответствий Qi (i=1,…,4), с учетом его свойств, выполнить следующее:
3.1. Если соответствие Qi всюду определено, функционально, но не инъективно, то построить разбиение области определения соответствия на классы эквивалентности по отношению P: «два элемента эквивалентны между собой тогда и только тогда, когда они принадлежат прообразу одного и того же элемента».
3.2. Если соответствие Qi сюръективно, инъективно, но не функционально, то построить разбиение области значений соответствия на классы эквивалентности по отношению R: «два элемента эквивалентны между собой тогда и только тогда, когда они принадлежат образу одного и того же элемента».
3.3. Если соответствие Qi не инъективно и не функционально, то найти нижнюю и верхнюю грани множества Qi, введя на этом множестве отношение порядка, по которому сравниваются векторы одинаковой размерности (если а=(а1,а2) и b=(b1,b2), то a < b тогда и только тогда, когда ai ≤ bi, i=1,2, и хотя бы одно из этих неравенств строгое).
3.4. Если соответствие Qi является биекцией, то построить соответствующую ему перестановку на множестве X и разложить ее на циклы.
Таблица 4.
Q1 = {(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (3,1)}
4 |
|
Q2 = {(1,2), (4,4), (5,5), (2,3), (3,1)} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Q3 = {(1,2), (1,4), (4,3), (3,5), (2,2)} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Q4 = {(1,3), (2,4), (5,5), (3,4), (4,5)} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Таблица 4-1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q1 |
|
|
|
|
Q2 |
|
|
|
|
Q3 |
|
|
|
|
Q4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Таблица 5 Свойства соответствий:
|
Q1 |
Q2 |
Q3 |
Q4 |
Всюду определено |
Нет |
Да |
Нет |
Да |
Сюръективно |
Да |
Да |
Нет |
Нет |
Функционально |
Нет |
Да |
Нет |
Да |
Инъективно |
Да |
Да |
Нет |
Нет |
Биективно |
Нет |
Да |
Нет |
Нет |
Соответствия Q1:
Пр2 Q1 = {1,2,3,4,5} = {2,3,4,5} {1}
Разбиение области значений Пр2 Q1 = {1,2,3,4,5} на классы эквивалентности:
1-й класс: образ элемента 1 из области определения соответствия {2,3,4,5} 2-й класс: образ элемента 2 из области определения соответствия {1}.
Соответствия Q2:
Перестановка на множестве X и ее разложение на циклы:
Соответствия Q3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нижняя грань множества Q3: {1,2}; |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Верхняя грань множества Q3: {(3,5),(4,3)}; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Соответствия Q4: |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разбиение области значений Пр2 Q4 = {1,2,3,4,5} на классы эквивалентности: |
|||||||||||||||||
Пр2 Q4 = {1,2,3,4,5} = {1} |
|
{2,3} {4,5} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1-й класс: прообраз |
элемента 3 Пр2 Q4 {1} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2-й класс: прообраз элемента 4 Пр2 |
Q4{2,3} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3-й класс: прообраз элемента 5 Пр2 |
Q4{4,5} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||