КР1_2 В4 / КР2
.pdfБЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра программного обеспечения информационных технологий
Факультет ФКСиС Специальность ПОИТ
Контрольная работа №2 по дисциплине «Дискретная математика»
Вариант 4
Выполнил студент: Бордон Е.С. группа 991051 Зачетная книжка № 99105004
Минск 2020
Задание 1.
Булева функция ф(a, b, c) задана как суперпозиция некоторых функций фi(x, y) (список функций фi см. в Таблице 1 методических указаний по выполнению
КР№2).
1) По заданной суперпозиции получить соответствующее логическое выражение;
2)Получить таблицу значений заданной функции;
3)Получить СДНФ, СКНФ, СПНФ заданной функции;
4)Получить представление заданной функции в виде минимальных ДНФ и
КНФ;
5)Получить представление заданной функции в виде сокращенной БДР. По сокращенной БДР записать представление функции:
‒ с помощью оператора IF-THEN-ELSE (ITE-представление);
‒ в виде ДНФ (максимально упростить найденную ДНФ, если это
возможно); ‒ в виде КНФ (максимально упростить найденную КНФ, если это
возможно).
№ |
Выражение, задающее функцию |
|
|
4 |
ф6(ф14(ф5(b, c), ф11(a, c)), ф2(b, a)) |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
Таблица 1. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
c |
|
a |
b |
|
0 |
1 |
|
0 |
0 |
|
1 |
1 |
|
0 |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
0 |
|
1 |
|
Таблица 2. |
|
|
||
|
|
|
|
c |
a |
b |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
1 |
|
0 |
|
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
а |
|
а |
if a then |
|
||||||||||
|
|
b |
|
|
b |
|
|
b |
|
|
b |
b |
|
|
b |
if |
b then |
||||||
|
с с |
|
с с |
|
|
|
с |
|
с |
с |
|
|
|
|
f:false |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
else |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
if c |
then |
||
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f:false |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
elseelse |
f:true |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
if |
b then |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f:true |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
else |
then |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
if c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f:false |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
else |
f:true |
Задание 2.
Булева функция f (a, b, c, d) задана своими значениями. Используя метод Куайна-Мак-Класки, найти минимальную ДНФ этой функции.
№ |
f (a,b,c,d) |
|
|
4 |
(1110 1011 0001 0110) |
|
|
Решение: |
|
a |
b |
c |
d |
f |
|
|
T1 |
|
|
T2 |
|
|
T3 |
|
Т4, а |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0000 |
|
0 |
0000 |
|
0,1 |
|
000- |
|
4,8 |
-110 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0001 |
|
|
|
|
0,2 |
|
00-0 |
|
0,3 |
0-00 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
2 |
0010 |
|
1 |
0001 |
|
0,3 |
|
0-00 |
|
2,4 |
0-10 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
2 |
0010 |
|
2,4 |
|
0-10 |
|
0,2 |
00-0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
3 |
0100 |
|
3 |
0100 |
|
3,4 |
|
01-0 |
|
3,4 |
01-0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
4,5 |
|
011- |
|
0,1 |
000- |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
4 |
0110 |
|
4 |
0110 |
|
4,8 |
|
-110 |
|
4,5 |
011- |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
5 |
0111 |
|
|
|
|
6 |
|
1011 |
|
6 |
1011 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
5 |
0111 |
|
7 |
|
1101 |
|
7 |
1101 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
6 |
1011 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
7 |
1101 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
6 |
1011 |
|
8 |
1110 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
7 |
1101 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
8 |
1110 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т4, б |
|
4,8 |
-110 |
0,3,2,4 |
0--0 |
0,2,3,4 |
0--0 |
0,1 |
000- |
4,5 |
011- |
6 |
1011 |
7 |
1101 |
В Т4, б - все наборы являются существенными, тк содержат уникальные номера Элементарные конъюнкции, соответствующие существенным наборам:
-110: b ^ с ^ ¬ d; 0--0: ¬ a ^ ¬ d; 000-: ¬ a ^ ¬ b ^ ¬ c; 011-: ¬ a ^ b ^ c; 1011: a ^ ¬ b ^ c ^ d; 1101: a ^ b ^ ¬ c ^ d;
Минимальная ДНФ:
b ^ с ^ ¬ d ˅ ¬ a ^ ¬ d ˅ ¬ a ^ ¬ b ^ ¬ c ˅ ¬ a ^ b ^ c ˅ a ^ ¬ b ^ c ^ d ˅ a ^ b ^ ¬ c ^ d
Задание 3.
Дан трехместный предикат P(x,y,z). Предметные переменные x, y, z принимают значения соответственно из предметных областей Mx, My, Mz.
а) Подобрать предметные области Mx, My, Mz, каждую мощности не меньше двух, таким образом, чтобы приблизительно в половине случаев предикат P(x,y,z) был выполним. Во всех дальнейших пунктах использовать эти предметные области.
б) Путем фиксации значения одной из предметных переменных получить из P(x,y,z) сначала выполнимый, а затем тождественно ложный двухместный предикат (если это невозможно сделать в заданных предметных областях, то объяснить, почему).
в) Путем фиксации значений двух предметных переменных получить из P(x,y,z) сначала тождественно истинный, а затем тождественно ложный одноместный предикат (если это невозможно сделать в заданных предметных областях, то объяснить, почему).
г) Путем фиксации значений всех предметных переменных получить из P(x,y,z) сначала ложное, а затем истинное высказывание (нульместный предикат).
д) Проверить истинность заданных высказываний, полученных из P(x,y,z) путем связывания всех предметных переменных кванторами. Пояснить полученные результаты.
№ |
P(x,y,z) |
Высказывания |
|
|
|
|
|
4 |
x ≤ y + z |
x y z P(x,y,z) |
|
z x y P(x,y,z) |
|||
|
|
||
|
|
|
|
Решение: |
|
|
a) Трехместный предикат P(x,y,z) = x ≤ y + z Пусть Mx = {2,3,4}, My = {3,4,5}, Mz = {1,2}.
Mx х My х Mz = {(2,3,1), (2,3,2), (2,4,1), (2,4,2), (2,5,1), (2,5,2), (3,3,1), (3,3,2),
(3,4,1), (3,4,2), (3,5,1), (3,5,2), (4,3,1), (4,3,2), (4,4,1), (4,4,2), (4,5,1), (4,5,2)}
P(2,3,1) = И; P(2,3,2) = И; P(2,4,1) = И; P(2,4,2) = И; P(2,5,1) = И; P(2,5,2) = И; P(3,3,1) = И; P(3,3,2) = И; P(3,4,1) = И; P(3,4,2) = И; P(3,5,1) = И; P(3,5,2) = И; P(4,3,1) = И; P(4,3,2) = И; P(4,4,1) = И; P(4,4,2) = И; P(4,5,1) = И; P(4,5,2) = И;
Требование о том, чтобы на выбранных предметных областях предикат был выполним хотя бы в половине случаев, соблюдается, значит, предметные области подобраны правильно.
б) Двухместный предикат P(x,y,1) выполним, так как, например, P(2,3,1) = И.
Получить из P(x,y,z) тождественно ложный двухместный предикат на заданных предметных областях невозможно.
Крайние случаи, исходя из вида предиката:
при фиксации переменной y наименьшим значением (3) предикат P(x,3,z) примет значение
ИСТИНА при x=2, z=1;
при фиксации переменной x наибольшим значением (4) предикат P(4,y,z) примет значение
ИСТИНА при y=5, z=1;
при фиксации переменной z наибольшим значением (2) предикат P(x,y,2) примет значение
ИСТИНА, например, при y=5, x=2.
в) P(x,5,1) – тождественно истинный одноместный предикат, т.к.
P (2,5,1) = P (3,5,1) = P (4,5,1) = И.
Получить тождественно ложный одноместный предикат невозможно для заданной предметной области тк в каждом случае предикат является выполнимым.
г) Ложное и истинное высказывания:
P (2,5,1) = И.
Ложное высказывание для данной предметной области получить невозможно.
д) Ложное и истинное высказывания:
x y z P(x,y,z) = x( y( z P(x,y,z))) = x( y(Р(х,у,1) ^ Р(х,у,2))) =
=x((Р(х,3,1) ^ Р(х,3,2)) ˅ (Р(х,4,1) ^ Р(х,4,2)) ˅ (Р(х,5,1) ^ Р(х,5,2))) =
=(Р(2,3,1) ^ Р(2,3,2)) ˅ (Р(2,4,1) ^ Р(2,4,2)) ˅ (Р(2,5,1) ^ Р(2,5,2)) ˅
˅(Р(3,3,1) ^ Р(3,3,2)) ˅ (Р(3,4,1) ^ Р(3,4,2)) ˅ (Р(3,5,1) ^ Р(3,5,2)) ˅
˅(Р(4,3,1) ^ Р(4,3,2)) ˅ (Р(4,4,1) ^ Р(4,4,2)) ˅ (Р(4,5,1) ^ Р(4,5,2)) =
= ((И ^ И) ˅ (И ^ И) ˅ (И ^ И)) ˅ ((И ^ И) ˅ (И ^ И) ˅ (И ^ И)) ˅ ((И ^ И) ˅ (И ^ И)
˅ (И ^ И)) = ИСТИНА;
z x y P(x,y,z) = z ( x ( y P(x,y,z))) = z ( x (Р(х,3,z) ˅ Р(х,4,z) ˅ Р(х,5,z))) =
=z ((Р(2,3,z) ˅ Р(2,4,z) ˅ Р(2,5,z)) ^ (Р(3,3,z) ˅ Р(3,4,z) ˅ Р(3,5,z)) ^ (Р(4,3,z) ˅ Р(4,4,z) ˅ Р(4,5,z)) =
=((Р(2,3,1) ˅ Р(2,4,1) ˅ Р(2,5,1)) ^ (Р(3,3,1) ˅ Р(3,4,1) ˅ Р(3,5,1)) ^ (Р(4,3,1) ˅ Р(4,4,1) ˅ Р(4,5,1))) ^ ((Р(2,3,2) ˅ Р(2,4,2) ˅ Р(2,5,2)) ^ (Р(3,3,2) ˅ Р(3,4,2) ˅ Р(3,5,2)) ^ (Р(4,3,2) ˅ Р(4,4,2) ˅ Р(4,5,2))) =
=((И ˅ И ˅ И) ^ (И ˅ И ˅ И) ^ (И ˅ И ˅ И)) ^ ((И ˅ И ˅ И) ^ (И ˅ И ˅ И) ^ (И ˅ И ˅ И)) = ИСТИНА;