1 семестр / Идз погрешности

Часть 1. Прямые измерения.

Записать среднюю величинуизмерения диаметра дробинки с

d, мм

, = 5

помощью микрометра с ценой деления 0,01 мм с погрешностью.

Дана выборка

; Запишем её и упорядочим по возрастанию:

1.24

1.22

1.28

1.25

1.24

1.22

1.24

1.24

1.25

1.28

отсутствии её обозначения на приборе принимается половина цены

0.01 мм

= 0.005 мм

1) Проведём проверку на=наличие

деления прибора, и посчитаем её:

Размах

,

= 0.64

2

грубых погрешностей по

размаху:

Сравним разность = ↑ − ↑1= 1.28 − 1.22 = 0.06

Коэффициент

для N 5 и P=95%;

;

а)

выборки:

, = 0.0384

б)

2

− 1

каждого последующего и предыдущего элемента

= 0.02 < 0.0384

– промаха нет

выборки с произведением

:

в)

3

− 2

= 0.00 < 0.0384

– промаха нет

г)

4

− 3

= 0.01 < 0.0384

– промаха нет

– промаха нет

5

− 4

= 0.03 < 0.0384

Промахов нет.

1.22 + 1.24 + 1.24 + 1.25 + 1.28

=

∑=1

=

= 1.246(мм)

2) Вычислим выборочное среднее:

а)

5

∆

=

−

= 1.22 − 1.246 = −0.026(мм)

3)̅Вычислим отклонение от среднего для каждого элемента:

б)

1

1

̅

в)

∆

2

=

2

− = 1.24 −1.246 = −0.006(мм)

∆

=

̅

г)

3

3

− = 1.24 − 1.246 = −0.006(мм)

∆

=

̅

д)

4

4

− = 1.25 − 1.246 = 0.004(мм)

̅

∆

=

5

− = 1.28 −1.246 = 0.034(мм)

Сумма5

̅

отклонений должна быть равна нулю, проверим это:

∆ = −0.026 −0.006 −0.006 + 0.004 + 0.034 = 0

Сумма действительно равна нулю.

(∆ )2

= 0.000676 + 0.000036 + 0.000036 + 0.000016

4)

Найдём сумму квадратов отклонений:

Найдём

+ 0.00001156 = 0.00077556 (мм )

∑(∆ )2

0.00077556

2

5)

СКО наблюдения:

=

− 1

=

4

0.014(мм)

0.014

6)

Найдём СКО среднего

=

=

5

= 0.053(мм)

∆ = , ; ; Коэффициент Стьюдента для N=5 и P=95% равен

7)

Определим случайную погрешность по Стьюденту:

, = 2.78

;

∆ = 2.78 0.053 = 0.14734 0.15(мм)

8)

Определим оценочное значение случайной погрешности по

0.51)

;

, =

размаху:

(оценочный коэффициент для N=5 и P=95% равен

∆ = , = 0.51 0.06 = 0.0306

9) Определим полную погрешность:

10) Определим2

относительную2

погрешность:

∆ = (∆ ) + ( ) = √0.0225 + 0.000025 0.15(мм)

∆

0.15

11) Сведём все результаты в таблицу:

=

̅ 100% =

100% = 12%

1,22

1,28

1,25

1,24

1.246

d, мм

1,24

1,22

1,24

1,24

1,25

1,28

R=

=0.06

↑

−

−

0.02

0.00

0.01

↑1 ,

0.03

= +

= 0.0384

-0.026

-0.006

-0.006

0.004

0.034

=

−

0.000676

0.000036

0.000036

0.000016

0.00001156

= .

=

∑

(∆ )2

−

1

0.014(мм), = = 0.053(мм), ∆ = ,

= 0.15

(мм), ∆

= ,

= 0.0306, ∆ ≈ ∆ ,

,

= (∆)

2

2

=

√0.0225 + 0.000025 0.15(мм)

∆

+ ( )

= 1.246 ± 0.15

(мм), = 95%, = 5.

Часть 2. Косвенные измерения.

Вычислить погрешность косвенных измерений и записать

результат с погрешностью, при условии, что:

Объёмная плотность заряда равномерно заряженного шара

,

Дана выборка значений

= 3 0( + ):2

, 0

= 8.85 10−12 м.

от поверхности шара наl:

3

Ф

радиус шара R. Определить напряжённость поля в точке,

отстоящеё

,

м

3

2,1*

2,2*

, 2,5*, , = 5

2,4*

2,0*

м

3

102

104

108

106

105

200

201

199

204

200

Величины измерены совместно и не образуют выборок, значит, для

расчёта результата и погрешности используем выборочный метод,

для этого:

1) Для каждой тройки величин рассчитаем значение

напряжённости:

2.1 10−5

кл (102 10−3)3

м3

1

=

м3 3 8,85 10−12

ф

(102 10−3

+ 200 10−2)2

м2

=

190

в

−5

−3

3

3

м

2.2 10

кл (104 10

)

2

=

м

=

м3в 3 8,85 10−12 ф

(104 10−3 + 201 10−2)2

м2

210

м

2.5 10

−5

кл (108 10

−3

)

3

3

3

=

м

=

3

−12

ф

−3

−2

2

2

270мв 3 8,85 10

(108 10

+ 199 10

)

м

м

2.4 10

−5

кл (106 10

−3

)

3

м

4

=

м3в 3 8,85 10−12

ф

(106 10−3

+ 204 10−2)2

м2

=

230

м

2.0 10

−5

кл (105 10

−3

)

3

3

5

=

м

=

м3в 3 8,85 10−12 ф

(105 10−3 + 200 10−2)2

м2

200

м

E,м

190

210

270

230

200

190

200

210

230

270

1.1)

Проведём проверку на наличие грубых погрешностей по

м

,

= 0.64

Размах

размаху:

Сравним разность = ↑ − ↑1= 270 −190 = 80

Коэффициент

для N 5 и P=95%;

;

а)

выборки:

– промаха, = 51.2

б)

2

− 1

каждого последующего и предыдущего элемента

= 10 < 51.2– промаха нет

:

выборки с произведением

в)

3

−

2

= 10 < 51.2– промаха нет

г)

4

− 3

нет

= 20 < 51.2– промаха нет

5

− 4

= 40 < 51.2

Промахов нет.

190 + 200 + 210 + 230 + 270

В

=

∑=1

=

= 220(

)

1.2) Вычислим выборочное среднее:

а)

∆

5

В

м

=

− = 190 − 220 = −30(

В)

1.3)

Вычислим отклонение от среднего для каждого элемента:

б)

1

1

м

в)

∆

=

− = 200 −220 = −20(В)

2

2

м

г)

∆

=

− = 210 − 220 = −10( )

∆

3

=

3

м

− = 230 − 220 = 10( В)

4

4

В

д)

м

∆

=

− = 270 −220 = 50( )

∆

= −30 −20 − 10 + 10 + 50 = 0

Сумма5

отклонений5

должна быть

равна нулю, проверим это:

м

∑(∆ )2

4000

В

=

− 1

=

4

31.6(м)

31.6

В

1.6) Найдём СКО среднего

=

=

5

= 2.5(м)

∆ = ,

; ; Коэффициент Стьюдента для N=5 и P=95% равен

1.7) Определим случайную погрешность по Стьюденту:

, = 2.78

В

;

∆ = 2.78 2.5 7(м)

1.8) Определим оценочное значение случайной погрешности по

0.51)

;

, =

размаху:

(оценочный коэффициент для N=5 и P=95% равен

∆ = , = 0.51 80 = 40.8

Разница между значениями по размаху и по СКО не столь велика,

значит, погрешность определена правильно.

2) Выведем выражения для частных производных функции по

каждому параметру:

Для этого прологарифмируем функцию по основанию e:

3

2

0

2 ln( + ) ;

Находим частные производные:

ln

3 0

( + )

= ln( ) + 3 ln( ) −ln(3) −ln( ) −

= (ln( ) + 3 ln( ) −ln(3) −

ln( 0) − 2 ln( + ))`

= 1 ;

= (ln( ) + 3 ln( ) −ln(3) −

ln( 0) −2 ln( + ))`

=

=

3

2

;

`

2

−( + )

= (ln( ) + 3 ln( ) − ln(3) − ln( 0) − 2 ln( + )) = ( + ) ;

опытах, для расчёта приборной погрешности измерения

=

= +

+ , где = 1 ∑; ( , , ) ,

напряжённости воспользуемся формулой:

∑| ( , , )| , = ∑| ( , , )|

1

1

=

;

+ 2,5 110−5 + 2,4 110−5 + 2,0 110−5

=

2,1 110−5 + 2,2 110−5

0.45 105

мКл3

2

+

3

−

5

2

+

3

−

2

3

−

102

(102 + 200)

104

(104 + 201)

108

(108 + 199)

3

2

3

2

+ 106 −(106 + 204) +

105

− (105 + 200)

=

2

2

5

2

=

(102 + 200) +2(104 + 201) +2(108 + 199) +

0.021 мм.;

0.033

см.;

(106

+ 104) + (105 + 200)

=

=

+ +

= (0.45 105

10−6)

=

+ (0.021 0.5) +

Вычисленные значения

подставим в формулу:

5

+(0.033 0.5) = 0,072.

В

= 7 + 0.072 = 7.072 м .

∆

= ∆ +

Вычислим погрешность функции:

5)

= 220 ± 7.07

В

.

=

± ∆

4) Вычислим результат измерения и округлим его:

Занесём данные в таблицу:

м

,

3

2,1*

2,2*

2,5*

2,4*

2,0*

м

3

м

10

−5

102

104

108

105

106

200

201

199

204

200

E,м

м

190

210

270

230

200

190

200

210

230

270

10

10

20

40

,

= +

= 51.2

−

-30

-20

-10

10

50

=

−

= 0

900

400

100

100

2500

=

=

+ + = 0,072,

=

−1

31.6 м ,

=

∑(∆ )2

В

= 2.5 м , ∆ =

7 м , ∆

=

=

В

,

В

,

= 40.8, ∆ ≈

В

,

∆ , ∆

= ∆ + = 7.072

= ± ∆ =

= 220 ± 7.07

В , = 95%,

= 5.

м

м