5семестр / Решение_задач / tau2
.pdfА) Определить модуль и аргумент комплексного коэффициента усиления динамического звена для пунктов 1-5.
1.
Сведём все операции под логарифм:
Выражение под знаком логарифма является модулем (АЧХ) системы:
По АЧХ восстанавливаем передаточную функцию (ПФ) и записываем выражение аргумента (ФЧХ):
Примечание. Множитель 180/π введён для перевода величин ФЧХ в градусы. Определяем значения модуля и аргумента на заданной частоте:
2.
По выражениям переходных характеристик, определяем ПФ звена в линии прямой связи и в контуре обратной связи:
1
Тогда ПФ эквивалентной системы:
Запишем выражения модуля (АЧХ) и аргумента (ФЧХ):
Примечание. Множитель 180/π введён для перевода величин ФЧХ в градусы. Определяем значения модуля и аргумента на заданной частоте:
3.
По выражениям переходных характеристик, определяем ПФ звена в линии прямой связи и в контуре обратной связи:
Тогда ПФ эквивалентной системы:
Запишем выражения модуля (АЧХ) и аргумента (ФЧХ):
Примечание. Множитель 180/π введён для перевода величин ФЧХ в градусы. Определяем значения модуля и аргумента на заданной частоте:
2
4.
Входное и выходное напряжение могут быть описаны уравнениями:
UBX =UR1 +UR2 =UR1 |
+UC |
(1.1) |
|||
|
=UR2 =UC |
|
|||
UBb|X |
|
|
|||
Ток, протекающий через контур: |
|
|
|||
|
I = IR1 = IR2 + IC |
(1.2) |
|
||
Ток на конденсаторе: |
|
|
|
|
|
|
IC = C |
dUC |
|
(1.3) |
|
|
dt |
|
|||
|
|
|
|
С учётом того, что напряжение на конденсаторе С равно напряжению на резисторе R2, ток на резисторе R2 может быть описан выражением:
IR2 |
= |
UR2 |
= |
UC |
(1.4) |
|
R2 |
R2 |
|||||
|
|
|
|
С учётом (1.3) и (1.4), ток протекающий через контур:
I = IR1 |
= |
UC |
+C |
dUC |
(1.5) |
|
R2 |
dt |
|||||
|
|
|
|
Тогда напряжение на резисторе R1:
UR1 |
= R1 IR1 |
= R1 |
|
UC |
+C |
dUC |
|
|
|
|
|
(1.6) |
|||||||
R2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
С учётом (1.6), система (1.1) примет вид:
U |
= R |
|
UC |
+C |
dUC |
|
+U |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|||||
BX |
1 |
|
|
dt |
|
(1.7) |
||||
|
|
R2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UBb|X =UC |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Система (1.7) соответствует модели вход-выход в дифференциальной форме. |
||||||||||
Перейдём к операторной форме записи, произведя замену |
d n |
≡ pn : |
||||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dtn |
3
|
|
(p)=U |
|
(p)× |
R |
|
|
1 |
|
|
+1 |
|
|
U |
|
|
|
+C p |
|
||||||||
BX |
C |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
(1.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UBb|X =UC (p)×1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Передаточная функция (ПФ) системы – это отношение изображения выходного сигнала к изображению входного сигнала:
W (p)= |
UBb|X (p) |
= |
|
|
|
1 |
|
(1.9) |
UBX (p) |
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
R1 |
|
|
+C p |
+1 |
|
|
|
R2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Сгруппируем коэффициенты относительно р:
Подставляем числовые коэффициенты R и С и сводим ПФ к стандартной форме записи:
Запишем выражения модуля (АЧХ) и аргумента (ФЧХ):
Примечание. Множитель 180/π введён для перевода величин ФЧХ в градусы. Определяем значения модуля и аргумента на заданной частоте:
5.
Входное и выходное напряжение могут быть описаны уравнениями:
UBX =UL1 +UL2 =UL1 |
+UR |
(1.1) |
|
|
=UL2 =UR |
|
|
UBb|X |
|
|
Ток, протекающий через контур:
4
I = IL1 = IL2 +IR |
(1.2) |
|||
Напряжение на индуктивности: |
|
|||
UL = L |
dIL |
|
(1.3) |
|
dt |
||||
|
|
С учётом того, что напряжение на индуктивности L2 равно напряжению на резисторе R, ток на резисторе R может быть описан выражением:
IR |
= |
UR |
= |
UL2 |
(1.4) |
|
|
||||
|
|
R R |
|
С учётом (1.3) и (1.4), ток протекающий через контур:
I = IL1 |
= IL2 |
+ |
UL2 |
= IL2 + |
L2 |
|
dIL2 |
(1.5) |
|
R |
R |
dt |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Таким образом, напряжение на индуктивности L1:
U |
|
= L |
dIL1 |
= L |
|
dIL2 |
+ |
L2 |
|
d 2 IL2 |
|
(1.6) |
|
L1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
dt |
1 |
|
dt |
|
R dt |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С учётом (1.6) и (1.3), система (1.1) будет иметь вид:
U |
|
= L |
|
|
dIL |
2 |
|
+ |
L2 |
|
d2 IL2 |
|
+L |
|
dIL2 |
|
|||
BX |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
R dt |
2 |
2 |
dt |
|
|||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
(1.7) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
dIL2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
U |
Bb|X |
= L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Система (1.7) соответствует модели вход-выход в дифференциальной форме.
Перейдём к операторной форме записи, произведя замену |
|
d n |
≡ p |
n |
: |
|||||||||
|
dtn |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
U |
(p)= I |
|
(p)× L |
p + |
L2 |
p2 |
|
+ L |
p |
|
|
|
|
|
L2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
BX |
|
1 |
|
R |
2 |
|
|
|
|
(1.8) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
UBb|X (p)= IL2 (p)×(L2 p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Передаточная функция (ПФ) системы – это отношение изображения выходного сигнала к изображению входного сигнала:
W (p)= |
UBb| X (p) |
= L p + |
L p |
+ L p |
(1.9) |
||||
UBX (p) |
L2 |
p2 |
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
R |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Сгруппируем коэффициенты относительно р:
Подставляем числовые коэффициенты R и L и сводим ПФ к стандартной форме записи:
5
Запишем выражения модуля (АЧХ) и аргумента (ФЧХ):
Примечание. Множитель 180/π введён для перевода величин ФЧХ в градусы. Определяем значения модуля и аргумента на заданной частоте:
6